Mam obliczyć wyznacznik takiej macierzy, gdzie \(\displaystyle{ x=\cos \frac{4 \pi}{3} + i \sin \frac{4 \pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\
1 & x & x^2 \\
1 & x^2 & x^3 \end{array} \right]}\)
I wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ -2 -2 \cos \frac{4 \pi}{3} + 4 \cos ^2 \frac{4 \pi}{3} - i \sin ^3 \frac{4 \pi}{3}}\)
Mogę to tak zostawić? czy coś jeszcze da się z tym zrobić ?
Wyznacznik macierzy z liczbami zespolonymi i trygonometrią
- blackbird936
- Użytkownik
- Posty: 280
- Rejestracja: 28 lis 2011, o 13:28
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 53 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Wyznacznik macierzy z liczbami zespolonymi i trygonometrią
Można łatwiej. Wyznacznik wychodzi
\(\displaystyle{ 2x^2 - x - x^3 = 3x^2 - x \left( 1+x+x^2 \right) = 3x^2 - x \cdot \frac{x^3-1}{x-1}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x^3 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^2 = \overline{x},}\) dostajemy
\(\displaystyle{ = 3 \cdot \left( \cos \frac{4 \pi}{3} - \mathrm i \sin \frac{4 \pi}{3} \right).}\)
\(\displaystyle{ 2x^2 - x - x^3 = 3x^2 - x \left( 1+x+x^2 \right) = 3x^2 - x \cdot \frac{x^3-1}{x-1}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x^3 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^2 = \overline{x},}\) dostajemy
\(\displaystyle{ = 3 \cdot \left( \cos \frac{4 \pi}{3} - \mathrm i \sin \frac{4 \pi}{3} \right).}\)