Wyznacznik macierzy z liczbami zespolonymi i trygonometrią

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
blackbird936
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 lis 2011, o 13:28
Płeć: Kobieta
Podziękował: 53 razy

Wyznacznik macierzy z liczbami zespolonymi i trygonometrią

Post autor: blackbird936 »

Mam obliczyć wyznacznik takiej macierzy, gdzie \(\displaystyle{ x=\cos \frac{4 \pi}{3} + i \sin \frac{4 \pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\
1 & x & x^2 \\
1 & x^2 & x^3 \end{array} \right]}\)


I wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ -2 -2 \cos \frac{4 \pi}{3} + 4 \cos ^2 \frac{4 \pi}{3} - i \sin ^3 \frac{4 \pi}{3}}\)

Mogę to tak zostawić? czy coś jeszcze da się z tym zrobić ?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Wyznacznik macierzy z liczbami zespolonymi i trygonometrią

Post autor: Dasio11 »

Można łatwiej. Wyznacznik wychodzi

\(\displaystyle{ 2x^2 - x - x^3 = 3x^2 - x \left( 1+x+x^2 \right) = 3x^2 - x \cdot \frac{x^3-1}{x-1}.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x^3 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^2 = \overline{x},}\) dostajemy

\(\displaystyle{ = 3 \cdot \left( \cos \frac{4 \pi}{3} - \mathrm i \sin \frac{4 \pi}{3} \right).}\)
ODPOWIEDZ