Udowodnić, że funkcja jest surjekcją

[acmilan]

\(\displaystyle{ S_{\epsilon}:=\{z=x+iy\in\mathbb{C}: \epsilon y > |x|, |z|<\epsilon\}\subset \mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ f(z)=\exp (1/z)}\)

Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f: S_{\epsilon} \rightarrow \mathbb{C}\setminus \{0\}}\) jest surjekcją.

Próbowałem pokazać, że każdą liczbę zespoloną da się zapisać w postaci \(\displaystyle{ \exp (1/z)}\), gdzie \(\displaystyle{ z\in S_{\epsilon}}\), ale nie potrafiłem tego uzasadnić.

[Dasio11]

Pokaż najpierw, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{z} : S_{\varepsilon} \to \{ z \in \CC \setminus \{ 0 \} : \arg (-\varepsilon - \mathrm i) < \arg z < \arg (\varepsilon - \mathrm i) \}}\)

jest surjekcją.

[acmilan]

Według mnie to nie jest surjekcja, natomiast byłaby taka:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z} : S_{\varepsilon} \to \{ z \in \CC \setminus \{ 0 \} : \arg (-\varepsilon - \mathrm i) < \arg z < \arg (\varepsilon - \mathrm i) \wedge |z|>\frac{1}{\epsilon} \}}\)

Nie wiem w czym robię błąd. :/

[Dasio11]

To ja robię błąd. Powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z} : S_{\varepsilon} \to \{ z \in \CC \setminus \{ 0 \} : \arg (-\varepsilon - \mathrm i) < \arg z < \arg (\varepsilon - \mathrm i) \wedge |z|>\frac{1}{\varepsilon} \}.}\)

[acmilan]

Tak, to jest dla mnie jasne. \(\displaystyle{ S_{\epsilon}}\) jest na płaszczyźnie zespolonej wycinkiem koła i funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) przeształca go na taki wachlarz pod osią \(\displaystyle{ Re}\).

I co, teraz? \(\displaystyle{ exp}\) przekształca na całą płaszczyznę? Nie wychodziło mi to. :/

[Dasio11]

Żeby w tym zbiorze znaleźć takie \(\displaystyle{ z=x+y \mathrm i,}\) że \(\displaystyle{ \exp z = w,}\) zapisujemy tę równość w postaci przyjemniejszej dla oka:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \ln |w| \\ \cos y + \mathrm i \sin y = \frac{w}{|w|} \end{cases}}\)

Do naszego zbioru należą liczby o dowolnej pierwszej współrzędnej, więc znajdzie się i taki, który spełnia pierwszą równość. Wystarczy go przesunąć w dół o w najgorszym wypadku \(\displaystyle{ 2 \pi,}\) żeby jego druga współrzędna spełniała drugą równość - a takie przesunięcie nie spowoduje, że punkt wypadnie za zbiór.
Formalny zapis pozostawiam tobie. :-]

[acmilan]

Dzięki!!! Jesteś mistrzem.-- 13 sty 2013, o 23:07 --\(\displaystyle{ \frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}}\) czyli funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) przekształca liczbę zespoloną na jej sprzężenie i skaluje ją przez kwadrat modułu. A ponieważ pierwszy zbiór jest wycinkiem koła, więc powstanie z niego taki "wachlarz" pod osią Re. Spróbuj to sobie rozrysować.

[Tmkk]

Tak, minute po napisaniu posta zrozumiałem, więc usunąłem posta z nadzieją, że nikt nie zauważy. Dzięki i przepraszam.