Zbiór wartości funkcji cos
-
brzoskwinka1
Zbiór wartości funkcji cos
\(\displaystyle{ \cos z =\frac{e^z +e^{-z}}{2}}\)
Weźmy \(\displaystyle{ u\in \mathbb{C}}\) mamy \(\displaystyle{ e^z +e^{-z} =2u}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=e^z}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ t^2 +1 =2tu}\) skąd \(\displaystyle{ t^2 -2ut +1=0}\). Równanie to ma dwa zespolone pierwiastki \(\displaystyle{ t_1 , t_2 \neq 0}\) a ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h(z) =e^z}\) przyjmuje wszystkie wartości zespolone za wyjątkiem zera więc równanie \(\displaystyle{ e^z =t_1}\) ma rozwiązanie. Niech \(\displaystyle{ \xi}\) będzie rozwiązaniem tego równania wówczas \(\displaystyle{ \cos\xi =u}\)
Weźmy \(\displaystyle{ u\in \mathbb{C}}\) mamy \(\displaystyle{ e^z +e^{-z} =2u}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=e^z}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ t^2 +1 =2tu}\) skąd \(\displaystyle{ t^2 -2ut +1=0}\). Równanie to ma dwa zespolone pierwiastki \(\displaystyle{ t_1 , t_2 \neq 0}\) a ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h(z) =e^z}\) przyjmuje wszystkie wartości zespolone za wyjątkiem zera więc równanie \(\displaystyle{ e^z =t_1}\) ma rozwiązanie. Niech \(\displaystyle{ \xi}\) będzie rozwiązaniem tego równania wówczas \(\displaystyle{ \cos\xi =u}\)