Zamiana liczby na postać trygonometryczną

[bastik]

Witam
Muszę zamienić liczby z postaci kartezjańskiej na postać wykładniczą i trygonometryczną, o ile z zamianą na postać wykładniczą dałem sobie radę o tyle przy zamianie na trygonometryczną utknąłem.

1) \(\displaystyle{ 1-2i}\)

Postać wykładnicza wyszła mi
\(\displaystyle{ z=\sqrt{5}e^{j-63,43^{\circ}}}\)
Postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ |z| =\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi = -\frac{ 2\sqrt{5} }{5}}\)
Czyli jest to czwarta ćwiartka
\(\displaystyle{ \mbox{IV ćw} \quad \rightarrow \quad Arg(z) = 2\pi - \varphi}\)
i teraz nie wiem czy mam wartość sin i cos odczytać z tablic ? ale co potem ?

2) \(\displaystyle{ -4+3i}\)
Postać wykładnicza wyszła mi
\(\displaystyle{ z=5e^{j-36,87º}}\)
Postać trygonometryczna
moduł =5
\(\displaystyle{ \cos \varphi = -\frac{4}{5}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi = -\frac{3}{5}}\)
Czyli jest to czwarta ćwiartka
\(\displaystyle{ \mbox{II ćw} \quad \rightarrow \quad Arg(z) = \pi - \varphi \\}\)

Będę bardzo wdzięczny za pomoc
Pozdrawiam

[mlody3k]

Postać wykładnicza liczby zespolonej ma taką postać:

\(\displaystyle{ x=re^{j\varphi}}\)

gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest modułem, a \(\displaystyle{ \varphi}\) jest argumentem. Zatem twoja notacja:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{5}e^{j-63,43º}}\)

Nie ma sensu, chyba, że chodzi o \(\displaystyle{ z=\sqrt{5}e^{j\cdot(-63,43º)}}\)
Przypuśćmy, że miało być tak.

Zatem skoro w jakikolwiek sposób (nie mam pojęcia jaki) znalazłeś już argument \(\displaystyle{ \varphi=-63,43º}\) to postać trygonometryczna wymaga tylko podstawienia:

\(\displaystyle{ z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)}\)

[kropka+]

Nie robiłabym przybliżeń z tablic tylko napisałabym np.
1)
\(\displaystyle{ z=1-2i= \sqrt{5}\left( \frac{ \sqrt{5} }{5} -i \frac{2 \sqrt{5} }{5} \right)= \sqrt{5}e ^{-i \arccos \frac{ \sqrt{5} }{5} }}\)

[bastik]

Wiem że z postaci wykładniczej mogę łatwo przeskoczyć na trygonometryczną, ale ja niestety potrzebuje rozpisania tych dwóch przykładów z kartezjańskiej na trygonometryczną bo niestety utknąłem w pewnym momencie i nie wiem co dalej z tym zrobić.

Mam jeszcze jedno pytanie
Jeżeli w postaci kartezjańskiej mam tylko część rzeczywistą = 4 to postać wykładnicza będzie równa 4e ?

[bb314]

NIE.

jeżeli jest tylko część rzeczywista, to znaczy, że argument \(\displaystyle{ =0}\), więc postać wykładnicza to

\(\displaystyle{ 4\cdot e^{j\cdot0}=4\cdot e^0=4\cdot1=\blue 4}\)

[bastik]

@bb314 Dzięki wielkie za wyjaśnienie

Jeszcze gdyby mi ktoś napisał jak przejść z tymi przykłądami na postać trygonometryczną to było by cudownie
1) \(\displaystyle{ 1 - 2i}\)
2)\(\displaystyle{ -4 + 3i}\)

[bb314]

1)
\(\displaystyle{ \blue z=1 - 2i\ \ \to\ \ \black |z|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt5}\)
\(\displaystyle{ z=1-2i=\sqrt5\left( \frac{1}{\sqrt5}-\frac{2}{\sqrt5}i\right)}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi=\frac{1}{\sqrt5}\ \ \to\ \ \varphi=\arccos \frac{1}{\sqrt5}}\)
współczynnik w nawiasie przy \(\displaystyle{ i}\) jest ujemny, więc jest to kąt w IV ćwiartce, zatem
\(\displaystyle{ \red z=\frac{\sqrt5}{5}\left( \cos\left(2\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt5}\right)+i\,\sin\left(2\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt5} \right) \right)}\)

2)
\(\displaystyle{ \blue z=-4 + 3i\ \ \to\ \ \black |z|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5}\)
\(\displaystyle{ z=-4+3i=5\left(- \frac{4}{5}+\frac{3}{5}i\right)}\)
\(\displaystyle{ \sin \varphi=\frac{3}{5}\ \ \to\ \ \varphi=\arcsin \frac{3}{5}}\)
współczynnik w nawiasie przy \(\displaystyle{ i}\) jest dodatni a cosinus ujemny, więc jest to kąt w II ćwiartce, zatem
\(\displaystyle{ \red z=5\left( \cos\left(\pi-\arcsin\frac{3}{5}\right)+i\,\sin\left(\pi-\arcsin\frac{3}{5} \right) \right)}\)