Sprawdz, czy istnieja wspolczynniki naturalne
-
diego_maradona
- Użytkownik
- Posty: 184
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 80 razy
Sprawdz, czy istnieja wspolczynniki naturalne
Czy istnieją liczby naturalne x,y takie, że \(\displaystyle{ (1+i) ^{79} = 2^{x}(1-i)^{y}}\)?
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Sprawdz, czy istnieja wspolczynniki naturalne
Po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ (1-i)^{79}}\) i podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2^x}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ 2^{79-x} = (1-i)^{79+y}}\)
Skoro lewa strona jest rzeczywista, to prawa też musi - nietrudno zaś spostrzec, że w takim razie \(\displaystyle{ 79+y}\) musi być podzielne przez cztery, czyli dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ 79+y=4k}\) i wtedy \(\displaystyle{ (1-i)^{79+y}= (1-i)^{4k}= 2^{2k}}\). Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ 79-x=2k}\), czyli:
\(\displaystyle{ 79+y= 2(79-x)}\)
skąd
\(\displaystyle{ 2x+y=79}\)
Dla wszystkich naturalnych rozwiązań tego równania zachodzi wyjściowa równość, można więc przyjąć chociażby \(\displaystyle{ x=39,y=1}\).
Q.
\(\displaystyle{ 2^{79-x} = (1-i)^{79+y}}\)
Skoro lewa strona jest rzeczywista, to prawa też musi - nietrudno zaś spostrzec, że w takim razie \(\displaystyle{ 79+y}\) musi być podzielne przez cztery, czyli dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ 79+y=4k}\) i wtedy \(\displaystyle{ (1-i)^{79+y}= (1-i)^{4k}= 2^{2k}}\). Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ 79-x=2k}\), czyli:
\(\displaystyle{ 79+y= 2(79-x)}\)
skąd
\(\displaystyle{ 2x+y=79}\)
Dla wszystkich naturalnych rozwiązań tego równania zachodzi wyjściowa równość, można więc przyjąć chociażby \(\displaystyle{ x=39,y=1}\).
Q.