Liczby zespolone - 3 zadania.

[Forii]

Mógłby ktoś rozwiązać te zadania? Chce mieć wzór jak to powinno się robić i czegoś się nauczyć.

1. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie:
a) \(\displaystyle{ z^2 - 3z + 3 + i = 0}\)

2. Obliczyć
a) \(\displaystyle{ (1- \sqrt{3i})^7}\)
b) \(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i)^7}\)
Wynik przedstawić w postaci algebraicznej.

3. Rozwiązać równanie:
a) \(\displaystyle{ z^4=(1+i))^8}\)
b) \(\displaystyle{ z^3=(1+i))^6}\)

Wklejam zdjęcie jako dowód żeby nie było że coś źle przepisałem, szczególnie pewnie będzie chodzić o te podójne nawiasy w 3 zadaniu, może literówka? Wy będziecie wiedzieli lepiej:

[Vardamir]

Ad 1)

Delta. I dalej jak równanie kwadratowe.

Ad 2)

Zamień na postać trygonometryczną i potęguj zgodnie ze wzorem.

[pawellogrd]

1. Zwykłe równanie kwadratowe. Wyliczasz \(\displaystyle{ \Delta}\) itd. jak przy zwykłym (czyt. rzeczywistym) równaniu kwadratowym, z tą różnica, że jak wyjdzie ujemne (a tutaj wyjdzie) to będąc w zbiorze liczb zespolonych mamy dwa pierwiastki w dalszym ciągu i wyliczasz normalnie pierwiastek z tej delty, a z tego znajdujesz dwa pierwiastki.

2. \(\displaystyle{ (1- \sqrt{3i})^7 = (1-\sqrt{3i})^4 \cdot (1-\sqrt{3i})^3 = \left( (1-\sqrt{3i})^2\right)^2 \cdot (1-\sqrt{3i})^3}\)

Dalej już tylko wzory skróconego mnożenia zastosować. Podpunkt b) analogicznie. Możesz też zamienić na postać trygonometryczną i ze wzoru na potęgowanie ale to niepotrzebne komplikowanie sobie życia (potem trzeba wrócić na algebraiczną).

3. Coś nie tak wyszło z nawiasami, popraw, żeby było dokładnie wiadomo jak mają być.

[Forii]

3. Coś nie tak wyszło z nawiasami, popraw, żeby było dokładnie wiadomo jak mają być.

Tak mam na kartce, widocznie literówka więc odejmijcie ten 1 nawias.

Tak będzie te 1 zadanie?:

1. \(\displaystyle{ \Delta=3^2-4(3+i)=-3-4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1-2i}\) gdyż \(\displaystyle{ (1-2i)^2=-3-4i}\)

\(\displaystyle{ z_1=\frac{3-1+2i}{2}=1+i}\)
\(\displaystyle{ z_2=\frac{3+1-2i}{2}=2-i}\)

I czy Mógłby ktoś rozwiązać reszte do końca tak jak powinny te zadania byc rozwiazane w pełni? Byłbym wdzięczny i zaoszczędziło by mi to zbędnych pytań czy wątpliwości czy mam dobrze.

[pawellogrd]

1. Jest ok

2. Przecież napisałem Ci jak je zrobić, chyba wzór skróconego mnożenia potrafisz użyć.

3. Zakładając, że masz \(\displaystyle{ z^4=(1+i)^8}\) to wiesz, że \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{(1+i)^8}}\) więc ze wzoru de Moivre'a możesz to obliczyć (zarówno a), jak i b) ).

[Forii]

2. Przecież napisałem Ci jak je zrobić, chyba wzór skróconego mnożenia potrafisz użyć.

Wzór skróconego mnożenia?
A czego? Myślałem że to już zrobione.

Zrobisz to do końca?
Nie kumam tego :/

[pawellogrd]

np. ten wzór \(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\) użuj do obliczenia \(\displaystyle{ (1-\sqrt{3i})^2}\)

[Forii]

Aa ok czyli będzie coś takiego?:

\(\displaystyle{ 1-2\sqrt{3i} + 9i}\)

[pawellogrd]

tutaj \(\displaystyle{ b=\sqrt{3i} \Rightarrow b^2=3i}\), no i policz dalej do końca to, co rozpisałem wcześniej używając wzorów skróconego mnożenia, w tym właśnie tego