Rozwiąż równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
muszynianka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 28 paź 2012, o 16:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 23 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: muszynianka »

\(\displaystyle{ [ z^{2}-z+5] \cdot (z^{3}+1)=0}\)

Pozdrawiam.
pilkarz_amator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 11 lip 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 19 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: pilkarz_amator »

Przyrównaj oba czynniki do zera. Pierwszy rozwiąż jak zwykłe równanie kwadratowe (delta), w drugim zastanów się, jakie są zespolone pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\). Na pewno \(\displaystyle{ -1}\) i co jeszcze?
muszynianka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 28 paź 2012, o 16:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 23 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: muszynianka »

\(\displaystyle{ [ z^{2}-z+5]=0}\)

Wyszło mi

\(\displaystyle{ x_{1}=- \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{19} }{2}i}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=- \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{19} }{2}i}\)

\(\displaystyle{ (z^{3}+1)=0}\)

Tego nie umiem.
pilkarz_amator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 11 lip 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 19 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: pilkarz_amator »

\(\displaystyle{ -1}\) ma moduł równy \(\displaystyle{ 1}\), więc na okręgu jednostkowym o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) będzie to punkt \(\displaystyle{ (-1,0)}\), czyli liczba \(\displaystyle{ 1(\cos\pi+i\sin\pi)}\). Teraz dzielisz okrąg na trzy części rozpoczynając od tego punktu, czyli zwiększasz argument o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{4\pi}{3}}\). Zatem szukane pierwiastki to \(\displaystyle{ -1}\), \(\displaystyle{ \cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}}\) i \(\displaystyle{ \cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3}}\)
ODPOWIEDZ