2 przykłady z liczb zespolonych

[krzychu09pl]

Witam, możecie rozwiązać mi te 2 przykłady?
Nie pamiętam jak się za to zabierało, resztę powinienem sobie zrobić analogicznie, bardzo proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ 1) \\
\sqrt{16i} \\ \\
2) \\
(1-i) ^{15}}\)

[Pancernik]

1.
\(\displaystyle{ z=\sqrt{16i}\\
a=0, \quad b=16\\
\left| z\right| = \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+16^2}=16 \\
\arg\left( z\right) = \alpha \\
\sin \alpha = \frac{b}{\left| z\right| } = \frac{16}{16}=1 \\
\alpha = 90^\circ \\
z_k= \sqrt[n]{\left| z\right| } \left( \cos \frac{ \alpha +2k\pi}{n} +i\sin\frac{ \alpha +2k\pi}{n} \right) ,\quad k=0,1,\dots , n-1\\
z_0=\sqrt{16}\left(\cos\frac{90^\circ+2\cdot 0\pi}{2}+i\sin\frac{90^\circ+2\cdot 0\pi}{2}\right)\\
z_0=4\left(\cos\frac{90^\circ}{2}+i\sin\frac{90^\circ}{2}\right)\\
z_0=4\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\
z_1=\sqrt{16}\left(\cos\frac{90^\circ+2\cdot 1\pi}{2}+i\sin\frac{90^\circ+2\cdot 1\pi}{2}\right)\\
z_1=4\left(\cos\frac{90^\circ+2\pi}{2}+i\sin\frac{90^\circ+2\pi}{2}\right)\\
z_1=4\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)\right)\\
z_1=4\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)}\)

2.
\(\displaystyle{ z=\left(1-i\right)^{15}\\
\left| z\right| = \sqrt{2} \\
\cos\alpha = \frac{a}{\left| z\right| } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
\alpha = -45^\circ \\
z^n=\left| z\right|^n \left( \cos\left( n\alpha\right) +i \sin\left( n\alpha\right) \right) \\
\left(1-i\right)^{15}=\left( \sqrt{2}\right) ^{15} \left( \cos\left(15\cdot \left( -45^\circ\right) \right)+i\sin\left( 15\cdot \left(- 45^\circ\right) \right) \right) \\
\left(1-i\right)^{15}=128\sqrt{2}\left( \cos \left(- 675\right) ^\circ+i\sin \left( -675\right) ^\circ \right) \\
\left(1-i\right)^{15}=128\sqrt{2}\left( \cos 45^\circ+i\sin 45^\circ \right) \\
\left(1-i\right)^{15}=128\sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4} \right)}\)

[krzychu09pl]

Dzięki wielkie za szybką pomoc