Zamiana na postać trygonometryczną.

[oski]

Witam mam zamienić liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=2-2i}\) na postać trygonometryczną. A później podnieść ją do \(\displaystyle{ 2010}\) potęgi.

Mam problem z postacią trygonometryczną. \(\displaystyle{ |z|}\) wyszło mi \(\displaystyle{ |z| = 2 \sqrt{2}}\)

Użyłem wzoru na postać sin i cos. Pozbyłem się niewymierności z mianownika i mam

\(\displaystyle{ \cos \varphi = 2 \sqrt{2} \\
\sin \varphi = -2 \sqrt{2}}\)

Wiem, że znajduje się to w czwartej ćwiartce i wiem, że wzór na \(\displaystyle{ \varphi}\) w tej ćwiartce to \(\displaystyle{ \varphi=2 \pi - \alpha}\)

Tylko nie wiem jak znaleźć wartość\(\displaystyle{ \alpha}\) Wyszło mi, że \(\displaystyle{ \cos \ 2\sqrt{2} = \fracf{1}{10} \pi}\) , a \(\displaystyle{ \sin \ -2 \sqrt{2}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{10} \pi}\)

Jest jakiś sposób, żeby z tego znaleźć wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) i wstawić to do wzoru na postać trygonometryczną ?

A co do potęgi \(\displaystyle{ 2010}\) to nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

[chris_f]

Źle!! Pomyśl, jakim cudem sinus i cosinus mogą być większe od \(\displaystyle{ 1}\) ????
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
I teraz odczytujesz \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{4}}\)
No i teraz już tylko wzór na potęgę liczby zespolonej.

[oski]

Kurczę faktycznie, głupia wpadka.

Rozumiem, że chodzi o wzór de Moivre’a. Wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[ \left( 2 \sqrt2 \right) ^{2010} \cdot \left( \cos \left( 2010 \cdot \left( \frac{7}{4} \pi \right) \right) + i\sin \left( 2010 \cdot \left( \frac{7}{4} \pi \right) \right) \right]}\)

i z tego wychodzi:

\(\displaystyle{ 8 ^{505} \cdot \left( \cos \frac{3}{2} \pi + i\sin \frac{3}{2} \pi \right)}\) ? Czy znowu się gdzieś machnąłem ?

[chris_f]

Hm, tylko w potędze modułu
\(\displaystyle{ (2\sqrt{2})^{2010}=8^{1005}}\)
A te wartości sinusa i cosinusa wylicz, w końcu wiadomo ile to jest, cosinus się wyzeruje, a sinus będzie równy -1.