Witam mam zamienić liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=2-2i}\) na postać trygonometryczną. A później podnieść ją do \(\displaystyle{ 2010}\) potęgi.
Mam problem z postacią trygonometryczną. \(\displaystyle{ |z|}\) wyszło mi \(\displaystyle{ |z| = 2 \sqrt{2}}\)
Użyłem wzoru na postać sin i cos. Pozbyłem się niewymierności z mianownika i mam
\(\displaystyle{ \cos \varphi = 2 \sqrt{2} \\
\sin \varphi = -2 \sqrt{2}}\)
Wiem, że znajduje się to w czwartej ćwiartce i wiem, że wzór na \(\displaystyle{ \varphi}\) w tej ćwiartce to \(\displaystyle{ \varphi=2 \pi - \alpha}\)
Tylko nie wiem jak znaleźć wartość\(\displaystyle{ \alpha}\) Wyszło mi, że \(\displaystyle{ \cos \ 2\sqrt{2} = \fracf{1}{10} \pi}\) , a \(\displaystyle{ \sin \ -2 \sqrt{2}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{10} \pi}\)
Jest jakiś sposób, żeby z tego znaleźć wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) i wstawić to do wzoru na postać trygonometryczną ?
A co do potęgi \(\displaystyle{ 2010}\) to nie mam pojęcia jak się za to zabrać.
Zamiana na postać trygonometryczną.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 10 gru 2012, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łomża
- Podziękował: 2 razy
Zamiana na postać trygonometryczną.
Ostatnio zmieniony 10 gru 2012, o 18:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Zamiana na postać trygonometryczną.
Źle!! Pomyśl, jakim cudem sinus i cosinus mogą być większe od \(\displaystyle{ 1}\) ????
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
I teraz odczytujesz \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{4}}\)
No i teraz już tylko wzór na potęgę liczby zespolonej.
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
I teraz odczytujesz \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{4}}\)
No i teraz już tylko wzór na potęgę liczby zespolonej.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 10 gru 2012, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łomża
- Podziękował: 2 razy
Zamiana na postać trygonometryczną.
Kurczę faktycznie, głupia wpadka.
Rozumiem, że chodzi o wzór de Moivre’a. Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \left[ \left( 2 \sqrt2 \right) ^{2010} \cdot \left( \cos \left( 2010 \cdot \left( \frac{7}{4} \pi \right) \right) + i\sin \left( 2010 \cdot \left( \frac{7}{4} \pi \right) \right) \right]}\)
i z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ 8 ^{505} \cdot \left( \cos \frac{3}{2} \pi + i\sin \frac{3}{2} \pi \right)}\) ? Czy znowu się gdzieś machnąłem ?
Rozumiem, że chodzi o wzór de Moivre’a. Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \left[ \left( 2 \sqrt2 \right) ^{2010} \cdot \left( \cos \left( 2010 \cdot \left( \frac{7}{4} \pi \right) \right) + i\sin \left( 2010 \cdot \left( \frac{7}{4} \pi \right) \right) \right]}\)
i z tego wychodzi:
\(\displaystyle{ 8 ^{505} \cdot \left( \cos \frac{3}{2} \pi + i\sin \frac{3}{2} \pi \right)}\) ? Czy znowu się gdzieś machnąłem ?
Ostatnio zmieniony 19 gru 2012, o 21:40 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Powód: Skalowanie nawiasów.
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Zamiana na postać trygonometryczną.
Hm, tylko w potędze modułu
\(\displaystyle{ (2\sqrt{2})^{2010}=8^{1005}}\)
A te wartości sinusa i cosinusa wylicz, w końcu wiadomo ile to jest, cosinus się wyzeruje, a sinus będzie równy -1.
\(\displaystyle{ (2\sqrt{2})^{2010}=8^{1005}}\)
A te wartości sinusa i cosinusa wylicz, w końcu wiadomo ile to jest, cosinus się wyzeruje, a sinus będzie równy -1.