oblicz NWD 2 liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
mazurzmazur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 gru 2012, o 15:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dom
Podziękował: 1 raz

oblicz NWD 2 liczb zespolonych

Post autor: mazurzmazur »

mam problem mam 2 liczby \(\displaystyle{ \alpha = 3+7i \ \ \ \beta =2+5i}\)

korzystam z algorytmu euklidesa, a wiec:
\(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{ \beta } = \frac{3+7i}{2+5i} \cdot \frac{2-5i}{2-5i} = ... = \frac{41-i}{29}}\)
wychodzi mi ze q = 1
[podstawiam do wzoru\
\(\displaystyle{ r = alpha - q eta \
r = 1+2i}\)

co dalej?? prosze pomozcie pilne to dla mnie jest
jak mozecie to pokazcie na tym przykladzie byle nie na literkach:)
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

oblicz NWD 2 liczb zespolonych

Post autor: JakimPL »

Algorytm, z którego korzystam, jest taki:

1. Niech \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z}}\).
2. Jeżeli \(\displaystyle{ b\neq 0}\), to bierzemy \(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor}\).
3. Przypisujemy nowe wartości \(\displaystyle{ a \to b}\) oraz, jeżeli tylko \(\displaystyle{ \|a\|^2\geqslant \|b\|^2}\), to \(\displaystyle{ b \to q b- a}\), w przeciwnym razie \(\displaystyle{ b \to a - q b}\).
4. Przechodzimy do kroku \(\displaystyle{ 2}\) do momentu, aż \(\displaystyle{ b=0}\).

Algorytm się kończy wtedy, gdy \(\displaystyle{ b=0}\). Skorzystajmy z tego. Jeżeli komuś wygodniej, może sobie oznaczać kolejne kroki indeksami dolnymi.

\(\displaystyle{ a= 3+7i, \quad b =2+5i}\), \(\displaystyle{ \|a\|^2>\|b\|^2}\), bo \(\displaystyle{ 58=3^2+7^2>2^2+5^2=29}\).

Wtedy \(\displaystyle{ q = \left\lfloor\frac{3+7i}{2+5i}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{49-i}{29}\right\rfloor=1-i}\)

Stąd nowe \(\displaystyle{ a=2+5i}\), \(\displaystyle{ b=(1-i)(2+5i)-(3+7i)=4-4i}\). Dodatkowo, \(\displaystyle{ 32=\|b\|^2>\|a\|^2=29}\).

Wyliczmy \(\displaystyle{ q}\):

\(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{2+5i}{4-4i}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{-3+7i}{8}\right\rfloor=-1}\)

\(\displaystyle{ a = 4-4i}\), \(\displaystyle{ b=4-4i-(-1)(2+5i)=6+i}\), \(\displaystyle{ 37=\|b\|^2>\|a\|^2=32}\).

Licząc dalej:

\(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{4-4i}{6+i}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{20-28i}{37}\right\rfloor=-i}\)

\(\displaystyle{ a=6+i}\), \(\displaystyle{ b=3+2i}\), \(\displaystyle{ 37=\|a\|^2>\|b\|^2=13}\)

\(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{6+i}{3+2i}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{20-9i}{13}\right\rfloor=1-i}\)

\(\displaystyle{ a=3+2i}\), \(\displaystyle{ b=-1-2i}\), \(\displaystyle{ 13=\|a\|^2>\|b\|^2=5}\)

\(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{3+2i}{-1-2i}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{-7+4i}{5}\right\rfloor=-2}\)

\(\displaystyle{ a=-1-2i}\), \(\displaystyle{ b=-1+2i}\), \(\displaystyle{ \|a\|^2=\|b\|^2}\)

\(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{-1-2i}{-1+2i}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{-3+4i}{5}\right\rfloor=-1}\)

\(\displaystyle{ a=-1+2i}\), \(\displaystyle{ b=2}\), \(\displaystyle{ \|a\|^2>|b\|^2}\)

\(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{-1+2i}{2}\right\rfloor=-1+i}\)

\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=-1}\)

\(\displaystyle{ q=\left\lfloor\frac{2}{-1}\right\rfloor=-2}\)

\(\displaystyle{ a=-1}\), \(\displaystyle{ b=0}\)

Stąd \(\displaystyle{ {\rm{NWD}}(3+7i,2+5i)=-1}\). Łopatologicznie.
ODPOWIEDZ