Witam, chciałabym rozwiązać następujące zadanie :
Wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z liczby \(\displaystyle{ -5+12i}\)
Aczkolwiek nie wiem jak się zabrać do niego, byłabym bardzo wdzięczna za wskazówki
Jakby ktoś szukał rozwiązania do podobnego zadania to polecam link:
23611.htm
Jest on bardzo przydatny, a samemu autorowi jego dziękuje,gdyż informacje z tego linku bardzo mi pomogły:)
Liczby zespolone-znaleść pierwiastek kwadratowy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Liczby zespolone-znaleść pierwiastek kwadratowy
Szukamy takiej liczby zespolonej \(\displaystyle{ a+bi}\), której kwadrat to \(\displaystyle{ -5+12i}\), czyli:
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=-5+12i}\)
Wystarczy teraz podnieść do kwadratu z lewej strony i porównać części rzeczywiste i urojone obu stron.
Q.
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=-5+12i}\)
Wystarczy teraz podnieść do kwadratu z lewej strony i porównać części rzeczywiste i urojone obu stron.
Q.
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Liczby zespolone-znaleść pierwiastek kwadratowy
Można też na piechotę wykorzystując wzór de Moivre'a
\(\displaystyle{ \blue z^2=-5+12i}\)
\(\displaystyle{ -5+12i=\sqrt{(-5)^2+12^2}\cdot\left( \frac{-5}{\sqrt{(-5)^2+12^2}} +\frac{12}{\sqrt{(-5)^2+12^2}}i\right)=}\)
\(\displaystyle{ =13\left( -\frac{5}{13}+\frac{12}{13}i\right)=13\left( \cos\alpha+i\,\sin\alpha\right)\ \ \ \to \ \ \ \ \ \alpha=\pi-\arccos\frac{5}{13}}\)
\(\displaystyle{ z=-\sqrt{13}\left( \cos\frac{\alpha}{2}+i\,\sin\frac{\alpha}{2}\right)\ \ \vee\ \ z=\sqrt{13}\left( \cos\frac{\alpha}{2}+i\,\sin\frac{\alpha}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}\right)=\sin \frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\left( \arccos\frac{5}{13}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{13}}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{\frac{8}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}=\sin\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}\right)=\cos \frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\left( \arccos\frac{5}{13}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{5}{13}}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{\frac{18}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}}\)
\(\displaystyle{ z=-\sqrt{13}\left( \frac{2}{\sqrt{13}}+i\,\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\ \ \vee\ \ z=\sqrt{13}\left( \frac{2}{\sqrt{13}}+i\,\frac{3}{\sqrt{13}}\right)}\)
\(\displaystyle{ \red z=-2-3i\ \ \vee\ \ z=2+3i}\)
\(\displaystyle{ \blue z^2=-5+12i}\)
\(\displaystyle{ -5+12i=\sqrt{(-5)^2+12^2}\cdot\left( \frac{-5}{\sqrt{(-5)^2+12^2}} +\frac{12}{\sqrt{(-5)^2+12^2}}i\right)=}\)
\(\displaystyle{ =13\left( -\frac{5}{13}+\frac{12}{13}i\right)=13\left( \cos\alpha+i\,\sin\alpha\right)\ \ \ \to \ \ \ \ \ \alpha=\pi-\arccos\frac{5}{13}}\)
\(\displaystyle{ z=-\sqrt{13}\left( \cos\frac{\alpha}{2}+i\,\sin\frac{\alpha}{2}\right)\ \ \vee\ \ z=\sqrt{13}\left( \cos\frac{\alpha}{2}+i\,\sin\frac{\alpha}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}\right)=\sin \frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\left( \arccos\frac{5}{13}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{13}}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{\frac{8}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}=\sin\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}\right)=\cos \frac{\arccos\frac{5}{13}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\left( \arccos\frac{5}{13}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{5}{13}}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{\frac{18}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}}\)
\(\displaystyle{ z=-\sqrt{13}\left( \frac{2}{\sqrt{13}}+i\,\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\ \ \vee\ \ z=\sqrt{13}\left( \frac{2}{\sqrt{13}}+i\,\frac{3}{\sqrt{13}}\right)}\)
\(\displaystyle{ \red z=-2-3i\ \ \vee\ \ z=2+3i}\)