liczby zespolone, dwa przykłady

[ole1k]

Witam prosiłbym o obliczenie tych dwóch przykładów.
a) \(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i) ^{200}}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1+i}}\)

[lukasz1804]

Skorzystaj ze wzoru de Moivre'a. Przedstaw niezbędne obliczenia, w razie kłopotów zadaj szczegółowe pytania.

[chris_f]

W jednym i drugim przypadku, rzecz sprowadza się do zapisania tych liczb w postaci trygonometrycznej i skorzystania ze wzorów: de Moivre'a i na pierwiastek.
\(\displaystyle{ |\sqrt{3}-i|=\sqrt{3+1}=2}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{-1}{2}}\)
stąd \(\displaystyle{ \varphi=\frac{11\pi}{6}}\)
No i
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)^{200}=2^{200}\left(\cos200\cdot\frac{11\pi}{6}+i\sin200\cdot\frac{11\pi}{6}\right)}\)
Ile wyjdą te wartości sinusa i cosinusa - to już sam policz.
Wskazówka do drugiego: \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2},\varphi=\frac{3\pi}{4}}\) - a dlaczego? Sam policz.