dowód równości opisującej potęge o wykładniku zespolonym

mati861 · Post autor: **mati861** » 6 gru 2012, o 14:56

Znalazłem następujące twierdzenie:
\(\displaystyle{ e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i \cdot \sin b)}\)
Czy ktoś mógłby podać mi dowód tej równości.

I jeszcze pytanie ogólniejsze: czy jest jakiś dobry sposób na "wyobrażenie sobie" podnoszenia do potęgi zespolonej.

Z góry dziękuje
mati861

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 6 gru 2012, o 15:23

\(\displaystyle{ e^{a+bi}=e^{a} \cdot e^{bi}}\).Pierwsza część zostaje. Jest jak w tezie ,a druga korzysta a zamiany postaci trygonometrycznej na wykładniczą.

Andreas · Post autor: **Andreas** » 8 gru 2012, o 22:40

mati861 pisze:I jeszcze pytanie ogólniejsze: czy jest jakiś dobry sposób na "wyobrażenie sobie" podnoszenia do potęgi zespolonej.

Wyobrażenie czego? Wyniku? Może podasz jakiś konkretny przykład?

mati861 · Post autor: **mati861** » 9 gru 2012, o 01:40

Jeśli mam podnieść do potęgi rzeczywistej ,weźmy n, to po prostu jest to dla mnie mnożenie n razy. Niestety trudno jest mi wyobrazić sobie mnożenie i-razy.

Andreas · Post autor: **Andreas** » 9 gru 2012, o 18:06

mati861 pisze:Jeśli mam podnieść do potęgi rzeczywistej ,weźmy n, to po prostu jest to dla mnie mnożenie n razy. Niestety trudno jest mi wyobrazić sobie mnożenie i-razy.

Jeśli chodzi ci o liczby postaci \(\displaystyle{ e^{\varphi i}}\), to nie jest to potęgowanie, tylko postać wykładnicza liczby zespolonej. I czasami można z niej od razu odczytać jaka to liczba.