liczby zespolone- dowód

[franek89]

Wykazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z i w zachodzi następująca równość:
\(\displaystyle{ \sin (z-w)=\sin z\cos w-\cos z\sin w}\)
jak to udowodnić?

[Dasio11]

A jaka jest definicja \(\displaystyle{ \sin z, \ \cos z?}\) Jeśli szeregi, to przyda się mnożenie szeregów metodą Cauchy'ego. Pewnie da się to zrobić również korzystając ze wzorów Eulera z funkcją \(\displaystyle{ e^z.}\)

[Koryfeusz]

Z bezpośrednich definicji trygonometrycznych funkcji zespolonych opartej o zespolony szereg Taylora byłoby to trudniejsze ale można to zrobić prościej. Mianowicie da się łatwo wyprowadzić ze wzoru Eulera zależności:

\(\displaystyle{ \sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ \cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)

Korzystając z tych dwóch wzorów można już łatwo udowodnić powyższą równość.