Mam rozłożyć taki wielomian na czynniki pierwszego stopnia.
\(\displaystyle{ z ^{6}+27}\)
Doprowadziłem to do takiej postaci:
\(\displaystyle{ ( z ^{2}-i \sqrt{3})( z ^{2}+i \sqrt{3})(z ^{4} -3z ^{2} + 9)}\)
Teraz próbuję liczyć deltę, zapisywać w postaci trygonometrycznej i ją pierwiastkować, ale wychodzą obliczenia, których nie umiem rozwiązać, mianowicie: \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2 \sqrt{7} }}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{-3 \sqrt{3} }{2 \sqrt{7} }}\)
Jak zrobić to sprytniej, ewentualnie obliczyć ten kąt?
Wielomian szóstego stopnia
-
goku94
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 10 kwie 2012, o 13:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 12 razy
Wielomian szóstego stopnia
A, tak. Przypadkiem kliknąłem w ikonkę pierwiastka, zamiast potęgi. Już poprawiłem.
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Wielomian szóstego stopnia
\(\displaystyle{ \bl a=z ^{6}+27=\left( z^2\right)^3+3^3\black=\left( z^2+3\right) \left( z^4-3z^2+9\right)}\)
\(\displaystyle{ z^2+3=(z-\sqrt3i)(z+\sqrt3i)}\)
\(\displaystyle{ z^4-3z^2+9\ \ \to\ \ \begin{cases} z^2=\frac{3-3\sqrt3 i}{2}=3\left( \cos\frac53\pi+i\sin\frac53\pi\right) \\ lub\\z^2=\frac{3+3\sqrt3 i}{2}=3\left( \cos\frac13\pi+i\sin\frac13\pi\right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z^4-3z^2+9=\left( z^2- 3\left( \cos\frac53\pi+i\sin\frac53\pi\right)\right)\left( z^2-3\left( \cos\frac13\pi+i\sin\frac13\pi\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ z^2- 3\left( \cos\frac53\pi+i\sin\frac53\pi\right)=\left( z-\sqrt3\left( \cos\frac56\pi+i\sin\frac56\pi\right)\right)\left( z+\sqrt3\left( \cos\frac56\pi+i\sin\frac56\pi\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ z^2-3\left( \cos\frac13\pi+i\sin\frac13\pi\right)=\left( z-\sqrt3\left( \cos\frac16\pi+i\sin\frac16\pi\right)\right) \left( z+\sqrt3\left( \cos\frac16\pi+i\sin\frac16\pi\right)\right)}\)
teraz tylko złożyć to cuzamendokupy
powinno wyjść
\(\displaystyle{ \blue a=\left( z-\sqrt3i\right)\left( z+\sqrt3i\right) \left( z+\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right) \left( z-\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left( z+\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left( z-\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z^2+3=(z-\sqrt3i)(z+\sqrt3i)}\)
\(\displaystyle{ z^4-3z^2+9\ \ \to\ \ \begin{cases} z^2=\frac{3-3\sqrt3 i}{2}=3\left( \cos\frac53\pi+i\sin\frac53\pi\right) \\ lub\\z^2=\frac{3+3\sqrt3 i}{2}=3\left( \cos\frac13\pi+i\sin\frac13\pi\right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z^4-3z^2+9=\left( z^2- 3\left( \cos\frac53\pi+i\sin\frac53\pi\right)\right)\left( z^2-3\left( \cos\frac13\pi+i\sin\frac13\pi\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ z^2- 3\left( \cos\frac53\pi+i\sin\frac53\pi\right)=\left( z-\sqrt3\left( \cos\frac56\pi+i\sin\frac56\pi\right)\right)\left( z+\sqrt3\left( \cos\frac56\pi+i\sin\frac56\pi\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ z^2-3\left( \cos\frac13\pi+i\sin\frac13\pi\right)=\left( z-\sqrt3\left( \cos\frac16\pi+i\sin\frac16\pi\right)\right) \left( z+\sqrt3\left( \cos\frac16\pi+i\sin\frac16\pi\right)\right)}\)
teraz tylko złożyć to cuzamendokupy
powinno wyjść
\(\displaystyle{ \blue a=\left( z-\sqrt3i\right)\left( z+\sqrt3i\right) \left( z+\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right) \left( z-\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left( z+\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left( z-\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right)}\)
