Rozwiązać równanie

[paulaa0]

Proszę o pomoc w dwóch zadaniach:

1) Obliczyć: \(\displaystyle{ \frac{5i ^{3} (1-i)}{2+i} + (-1+i) ^{12}}\)

2) Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ (z^{3} + 8i) \left[ z ^{2} -(2+i)z + (3+i) \right] = 0}\)
tutaj drugi nawias policzyłam przez delte, jednak nie wiem co zrobic z \(\displaystyle{ (z^{3} + 8i)}\)

[chris_f]

Zobacz tu: 317026.htm

[paulaa0]

dziekuje, 2 zrobione jeszcze 1

[chris_f]

\(\displaystyle{ \frac{5i^3(1-i)}{2+i}+(-1+i)^{12}=(*)}\)
Może po kawałku będzie łatwiej:
\(\displaystyle{ \frac{5i^3(1-i)}{2+i}=\frac{5\cdot(-1)(1-i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=
\frac{-5(2+i-2i+1)}{4+1}=\frac{-5(3-i)}{5}=-3+i}\)
Do drugiej części najpierw zamieniamy liczbę \(\displaystyle{ -1+i}\) na postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ |-1+i|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c}
\cos\varphi=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\quad\quad \right\}
\Longrightarrow \varphi=\frac{3\pi}{4}}\)
No i teraz
\(\displaystyle{ (-1+i)^{12}=\sqrt{2}^12\left(\cos12\cdot\frac{3\pi}{4}+i\sin12\cdot\frac{3\pi}{4}\right)=
2^6(\cos9\pi+i\sin9\pi)=\\64(-1+0i)=-64}\)
No i teraz całość jest już oczywista.