Pierwiastek ilorazu liczb zespolonych

[patlas]

Witam,
podczas rozwiązywania kolejnych zadań trafiłem na następny problem z liczbami zespolonymi.
Mianowice, mam określić pierwiastki takiej liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt3 +i}}}\)
Rozwiązywałem to w taki sposób że przedstawiłem licznik i mianownik liczby zespolonej jako iloraz postaci trygonometrycznych ale niestety jak następnie je przez siebie podzieliłem otrzymałem że:
\(\displaystyle{ z = \sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{2} \left( \cos \frac{19 \pi}{12} +i \sin \frac{19 \pi}{12}\right)}}\)
A niestety jednoznacznie nie jestem w stanie określić tych 6 pierwiastków z tej liczby
Czy jest jakaś inna (może bardziej dynamiczna) metoda rozwiązywania zadań tego typu?

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue z=\sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt3 +1}}}\)

\(\displaystyle{ 1-i=\sqrt2\left(\cos\frac74\pi +i\,\sin\frac74\pi\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-i}{\sqrt3 +1}=\frac{\sqrt2\left(\cos\frac74\pi +i\,\sin\frac74\pi\right)}{\sqrt3 +1}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3 +1}\left(\cos\frac74\pi +i\,\sin\frac74\pi\right)}\)

\(\displaystyle{ z=\sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{\sqrt3 +1}\left(\cos\frac74\pi +i\,\sin\frac74\pi\right)}=\sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{\sqrt3 +1}}\cdot\sqrt[6]{\cos\frac74\pi +i\,\sin\frac74\pi}}\)

\(\displaystyle{ \blue z=\sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{\sqrt3 +1}}\cdot\left( \cos\frac{7}{24}\pi +i\,\sin\frac{7}{24}\pi}\right)}\)



jeśli w mianowniku było \(\displaystyle{ i}\) a nie \(\displaystyle{ 1}\) to
\(\displaystyle{ \blue z = \sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{2} \left( \cos \frac{19 \pi}{12} +i \sin \frac{19 \pi}{12}\right)}=\ \black \sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{2}} \left( \cos \frac{19 \pi}{72} +i \sin \frac{19 \pi}{72}\right)}}\)

[patlas]

Rzeczywiście przy przepisywaniu pomyliłem w mianowniku 1 z i
Poprawiłem w poście
Wychodzi na to że odpowiedzi mamy takie same, a niestety w zbiorze jest zupełnie co innego Tam stosowano wzór na \(\displaystyle{ \cos15^\circ \ i \ \sin15^\circ}\) (oczywiście tak przypuszczam bo liczby wyszły znacznie ładniejsze z tego co pamiętam

[bb314]

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{2}} \left( \cos \frac{19 \pi}{72} +i \sin \frac{19 \pi}{72}\right)}}\)


\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{2}} \approx 0,944}\)
\(\displaystyle{ \frac{19}{72}\pi=\frac{19}{72}\cdot 180^o=47,5^o}\)