Witam,
czy mógłby mi ktoś powiedzieć (ewentualnie przykładowo rozwiązać) jak zrobić poniższy przykład:
\(\displaystyle{ z^3-3iz+4=0}\)
Wiem że to zwykły wielomian ale w znalezieniu pierwiastka przeszkadza mi to \(\displaystyle{ 3iz}\)
Wielomian zespolony
-
omicron
- Użytkownik
- Posty: 305
- Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 39 razy
Wielomian zespolony
Na pewno ma być \(\displaystyle{ z^3}\)? Pierwiastki wyjdą masakryczne.
https://www.matematyka.pl/3841.htm
https://www.matematyka.pl/3841.htm
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Wielomian zespolony
Jako autor cytowanego artykułu nawet nie polecam próbować liczyć tego przy pomocy wzorów Cardano. Chyba, że jest to celowy zabieg i ktoś chciał was sprawdzić, to można spróbować wykorzystać tę część o rozwiązywaniu równań sześciennych właśnie w dziedzinie zespolonej, przy pomocy cosinusa. To może nie wyjdzie aż tak obrzydliwe. 
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian zespolony
\(\displaystyle{ z^3-3iz+4=0\\
z=u+v\\
\left(u+v\right)^3-3i\left( u+v\right)+4=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-3i\left( u+v\right)+4=0\\
u^3+v^3+4-3\left( u+v\right)\left( uv-i\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+4=0 \\ uv-i=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ uv=i \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ u^3v^3=-i \end{cases} \\
t^2+4t-i=0\\
\left( t+2\right)^2-\left( 4+i\right)=0\\
\left( t+2-\sqrt{4+i}\right)\left( t+2+\sqrt{4+i}\right)=0 \\}\)
Układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ u^3v^3=-i \end{cases}}\)
to wzory Viete'a trójmianu kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ t_{1}=u^{3}\\t_{2}=v^3}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}}\)
dobierasz tak aby układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ uv=i \end{cases}}\)
także był spełniony
Jeżeli chcesz przedstawić pierwiastki w postaci
\(\displaystyle{ z_{k}=x+yi \qquad x \in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R}}\)
to skorzystaj ze wzoru de Moivre
z=u+v\\
\left(u+v\right)^3-3i\left( u+v\right)+4=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-3i\left( u+v\right)+4=0\\
u^3+v^3+4-3\left( u+v\right)\left( uv-i\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+4=0 \\ uv-i=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ uv=i \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ u^3v^3=-i \end{cases} \\
t^2+4t-i=0\\
\left( t+2\right)^2-\left( 4+i\right)=0\\
\left( t+2-\sqrt{4+i}\right)\left( t+2+\sqrt{4+i}\right)=0 \\}\)
Układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ u^3v^3=-i \end{cases}}\)
to wzory Viete'a trójmianu kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ t_{1}=u^{3}\\t_{2}=v^3}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}}\)
dobierasz tak aby układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-4 \\ uv=i \end{cases}}\)
także był spełniony
Jeżeli chcesz przedstawić pierwiastki w postaci
\(\displaystyle{ z_{k}=x+yi \qquad x \in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R}}\)
to skorzystaj ze wzoru de Moivre