Sprawdzenie równania licz zespolonych

[tomek520]

Mam takie równianie:

\(\displaystyle{ \left( z^{3} + 64 \right) \cdot \left( z^{4} + 2z^{2} - 8 \right) = 0}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \left( z^{3} + 64 \right) = 0}\) lub \(\displaystyle{ \left( z^{4} + 2z^{2} - 8 \right) = 0}\)

Drugie równanie wiem jak zrobić, nie mam większych problemów. Tylko to pierwsze ... Rozpisałem tak:

\(\displaystyle{ \left( z^{3} + 64 \right) = 0 \\
z^{3} = -64 \\
\left| z \right| = \sqrt{-64^{2}} \\
\left| z \right| = 64 \\
\sin \alpha = \frac{0}{64} \\ \\
\cos \alpha = \frac{-64}{64}}\)

Zobaczyłem, że to bedzie w II ćwiartce, więc \(\displaystyle{ \alpha _{0} = \frac{ \pi }{2}}\)

i

\(\displaystyle{ \pi - \alpha _{0} = \pi - \frac{ \pi }{2} = \frac{ \pi }{2}}\)


i dalej zrobiłem:


\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{ \frac{1 \pi }{2} } {3} + i \sin \frac{ \frac{1 \pi }{2} } {3} \right) = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{1 \pi } {6} + i \sin \frac{1 \pi }{6} } \right)}\)


Analogicznie obliczyłem \(\displaystyle{ z_{1} i z_{2}}\):



\(\displaystyle{ z_{1} = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{5 \pi }{6} + i \sin \frac{5 \pi }{6} \right)}\)


\(\displaystyle{ z_{2} = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{9 \pi }{6} + i \sin \frac{9 \pi }{6} \right)}\)

I tu mój pomysł się kończy, nie wiem co dalej i jak liczyć ... Proszę o sprawdzenie i ewentulane dokończenie.

[chris_f]

Popełniasz błąd już wyznaczaniu \(\displaystyle{ \alpha}\). Wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\).
A niezależnie od tego, jeżeli już zapiszesz \(\displaystyle{ z_0,z_1,z_2}\) to po prostu oblicz ile będą wynosić te sinusy i cosinusy - tu akurat (tak jak u Ciebie miło błędnego argumentu) wyjdą dokładne wartości - dla wielokrotności \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}}\) itp. możemy podać dokładne wartości.

[tomek520]

Popełniasz błąd już wyznaczaniu \(\displaystyle{ \alpha}\). Wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\).
A niezależnie od tego, jeżeli już zapiszesz \(\displaystyle{ z_0,z_1,z_2}\) to po prostu oblicz ile będą wynosić te sinusy i cosinusy - tu akurat (tak jak u Ciebie miło błędnego argumentu) wyjdą dokładne wartości - dla wielokrotności \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}}\) itp. możemy podać dokładne wartości.

Dlaczego wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\) ? Bo tego nie ogarniam skąd się wzięło \(\displaystyle{ \pi}\) ?

[chris_f]

Obliczyłeś sinus i cosinus argumentu \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{0}{64}=0}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{-64}{64}=-1}\)
Szukamy zatem takiego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) dla którego zachodzą te dwie powyższe zależności. mamy łątwo, ze \(\displaystyle{ \sin\alpha=0}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha=0}\) lub \(\displaystyle{ \alpha=\pi}\). Ale mamy dodatkową informację o cosinusie, więc z tych dwóch możliwości wybieramy \(\displaystyle{ \alpha=\pi}\).

Teraz dla wyliczonych \(\displaystyle{ |z|=64,\alpha=\pi}\) zapisujemy pierwiastki
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt[3]{64}\left(\cos\frac{\pi+0\cdot2\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+0\cdot2\pi}{4}\right)=
4\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=
2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_1=\sqrt[3]{64}\left(\cos\frac{\pi+1\cdot2\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+1\cdot2\pi}{4}\right)=
4\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=
-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_2=\sqrt[3]{64}\left(\cos\frac{\pi+2\cdot2\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2\cdot2\pi}{4}\right)=
4\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)=4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=
-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i}\)

[tomek520]

Aha, bo ja korzystałem z tych tabelek:


i na podstawie tego mi to wyszło.

Jeszcze pytanie jak się wyznacza z takich jak: \(\displaystyle{ cos \frac{5 \pi }{4}}\) że to wychodzi \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)?

[chris_f]

Dla charakterystycznych kątów, takich jak \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}}\) znamy wartości sinusów i cosinusów (to te tabelki jeszcze z liceum dla \(\displaystyle{ 30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ}\)). Potem korzystamy z wykresów sinusa i cosinusa i widzimy np., że dla \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) wartość sinusa będzie taka sama jak dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), dla cosinusa analogicznie, tylko ze zmienionym znakiem. Podobnie rozumujemy dla \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\), i dla wielokrotności np. \(\displaystyle{ \frac{11\pi}{6},\frac{5\pi}{3}}\).

[tomek520]

Okej, rozumiem.
Ostatnie już chyba pytanie ...

Dlaczego jest:

\(\displaystyle{ z_0=\sqrt[3]{64}\left(\cos \frac{\pi+0\cdot2\pi}{4}+i\sin \frac{\pi+0\cdot2\pi}{4}\right)}\)
czy nie powinno być:
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt[3]{64}\left(\cos \frac{\pi+0\cdot2\pi}{3}+i\sin \frac{\pi+0\cdot2\pi}{3}\right)}\)

bo to k we wzorze to k=3, czy się mylę?

-- 2 gru 2012, o 18:40 --

"istnieje n różnych pierwiastków: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\):

\(\displaystyle{ z_k=\sqrt[n]{r} \left( \cos {\frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin {\frac{\varphi+4k\pi}{n}} \right) \\k=0,\ 1,\ ..., n-1}\) "

[chris_f]

Oj, sorry, mój bezmyślny błąd, oczywiście \(\displaystyle{ n=3}\)

[tomek520]

Okej, dziękuję

[Andreas]

Dlaczego wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\) ? Bo tego nie ogarniam skąd się wzięło \(\displaystyle{ \pi}\) ?

Dla liczb leżących na osiach (czyli zepolonych postaci \(\displaystyle{ z=a}\) lub \(\displaystyle{ z=bi, a,b \in R}\)) można łatwo określić kąt bez obliczania cosinusa i sinusa.
Dla ujemnych rzeczywistych będzie to 180 stopni, czyli \(\displaystyle{ \pi}\)
Dla dodatnich rzeczywistych 0.
Dla urojonych dodatnich (np. i, 2i, 5i) 90 stopni czyli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
Dla urojonych ujemnych \(\displaystyle{ 270^{\circ}=\frac{3\pi}{2}}\).