Oblicz pierwiastek

[tomek520]

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{-2-2i} = x-yi}\)

Wyszło mi:

\(\displaystyle{ x = \sqrt[2]{-1+ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ y = \sqrt[2]{1+ \sqrt{2} }}\)

Może ktoś sprawdzić?

[octahedron]

\(\displaystyle{ -2-2i=\sqrt{2}^3e^{i\frac{5\pi}{4}}\\\\
\sqrt[3]{-2-2i}=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\right)}}\)

warunki zadania są spełnione dla \(\displaystyle{ k=2}\):

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-2i}=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}=1-i}\)

[tomek520]

Nic z tego nie rozumiem ...
Robiłem tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{-2-2i} = x+yi}\)

Wyszedł mi układ równań z tego:

\(\displaystyle{ -2=x^{2} - y^{2}}\)
\(\displaystyle{ -2=2xy}\)

I wyszło z tego:

\(\displaystyle{ x = \sqrt{-1+ \sqrt{2} }
y = \sqrt{1+ \sqrt{2} }}\)

Może ktoś sprawdzić?

[octahedron]

Bo ja jakoś zobaczyłem tam pierwiastek trzeciego stopnia...

[tomek520]

Czyli dobrze? czy też zle?

[bb314]

Źle.

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2=x^{2} - y^{2} \\ -2=2xy \end{cases}\ \ \ \to\ \ \ \blue \begin{cases} x=\sqrt{\sqrt2-1}\ \wedge\ y=-\sqrt{\sqrt2+1}\\lub\\ x=-\sqrt{\sqrt2-1}\ \wedge\ y=\sqrt{\sqrt2+1} \end{cases}}\)