iloczyn pierwiastków zespolonych

Andreas · Post autor: **Andreas** » 1 gru 2012, o 23:52

Wykazać że iloczyn dowolnych pierwiastków n. stopnia z 1 też jest pierwiastkiem n. stopnia z 1.

Pierwiastek z 1 można zapisać jako
\(\displaystyle{ z_{n-1}=\cos\left( \frac{2k \pi}{n}\right) +i \cdot \sin\left(\frac{2k \pi}{n}\right), k={1,2, ...,n-1}}\)
iloczyn pierwiastków można zapisać jako
\(\displaystyle{ \left(\cos\left( \frac{2k \pi}{n}\right) +i \cdot \sin\left(\frac{2k \pi}{n}\right) \right)^2}\)
Próbowałem dodać kąty, ale wychodzi
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{4k \pi}{n}\right) +i \cdot \sin\left(\frac{4k \pi}{n}\right)}\)
i nie wiem co dalej.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 2 gru 2012, o 00:32

\(\displaystyle{ z_1^n=1\\
z_2^n=1\\
(z_1\cdot z_2)^n=z_1^n\cdot z_2^n=1\cdot 1=1}\)

Andreas · Post autor: **Andreas** » 2 gru 2012, o 00:43

Nie bardzo rozumiem.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 2 gru 2012, o 01:02

Pierwiastkiem n-tego stopnia z 1 jest liczba, która podniesiona do n-tej potęgi daje 1. I tu widać, że z iloczynem tak jest.

Andreas · Post autor: **Andreas** » 3 gru 2012, o 17:29

No nie, bo w zadaniu chodzi o iloczyn pierwiastków, a nie pierwiastków podniesionych do potęgi n.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 4 gru 2012, o 02:05

Teraz ja nie rozumiem - Twoim zdaniem ma być \(\displaystyle{ z_1\cdot z_2=1}\)?

Andreas · Post autor: **Andreas** » 4 gru 2012, o 20:16

Nie, iloczyn ma być pierwiastkiem z jedynki, a nie jedynką.

Zresztą, nieatualne, już zrobiłem to zadanie.