Rozwiązać równianie

[tomek520]

Rozwiąż równianie:
\(\displaystyle{ (z^{3} + 8i) \cdot [z^{2} - (2+i)z + (3+i)] = 0}\)

Nie ogarniam, pomnożyłem wszystko, wykonałem działania ale takie wychodzą 'dziwaki', że nie wiem jak zrobić ...

[chris_f]

No to nie mnóż, tylko rozpisujesz to od razu na dwa równania
\(\displaystyle{ z^3 + 8i=0 \vee z^2 - (2+i)z + (3+i)= 0}\)
No i z pierwszego masz trzy pierwiastki zespolone (do policzenia) \(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-8i}}\), a drugie to zwyczajne równanie kwadratowe (delta itd.)

[tomek520]

A możesz wyjaśnić jak policzyć \(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{-8i}}\)? Nie mam pojęcia ...

[Andreas]

A możesz wyjaśnić jak policzyć \(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{-8i}}\)?

Ze wzoru de Moivre'a.

[chris_f]

Tak jak kolega wyżej sugerował:
\(\displaystyle{ |-8i|=\sqrt{0^2+(-8)^2}=8}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{0}{8}=0,\sin\varphi=\frac{-8}{8}=-1}\)
Stąd odczytujemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{3\pi}{2}}\)
Postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ -8i=8\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)}\)
No i pierwiastki
\(\displaystyle{ \omega_0=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)}\)
\(\displaystyle{ \omega_1=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right)}\)
\(\displaystyle{ \omega_2=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right)}\)
No i wylicz te sinusy i cosinusy (wyjdą ładne) i wstaw.

[tomek520]

A skąd się biorą te pierwiastki \(\displaystyle{ w_{1}, w_{2}, w_{3}}\) ?

[Vardamir]

A skąd się biorą te pierwiastki \(\displaystyle{ w_{1}, w_{2}, w_{3}}\) ?

I dlatego gotowce są złe. Zapoznałeś się chociaż ze wzorem de Moivre'a ?

[tomek520]

No tak, mniej wiecej. Wcale nie chce gotowca. Chcę się tego nauczyć ale nie mogę skumać skąd się bierze ...

[Andreas]

We wzorze jest \(\displaystyle{ k}\), za które za każdym razem podstawiasz inną wartość.
Jeśli liczysz pierwiastki np. 5. stopnia z liczby, to za \(\displaystyle{ k}\) podstawiasz kolejno \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\)
Jeśli liczysz pierwiastki n. stopnia, to \(\displaystyle{ k={0,1,2,...,n-1}}\)

[tomek520]

Stąd odczytujemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{3\pi}{2}}\)

Mogę wiedzieć skad to ? Czy to chodzi o to że sprawdza się ze sin jest ujemny, cos jest dodatni to stosuje się wzór?

[Andreas]

Stąd odczytujemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{3\pi}{2}}\)

Mogę wiedzieć skad to ? Czy to chodzi o to że sprawdza się ze sin jest ujemny, cos jest dodatni to stosuje się wzór?

Dla jakiego kąta \(\displaystyle{ \cos \alpha = 0}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha=-1}\)?
To najlepiej odczytać z wykresu. Rysujesz na jednym wykresie sin(x) i cos(x) i bardzo łatwo to odczytać.
Poza tym pamiętaj że obydwa te warunki muszą być spełnione (tzn sin i cos), dlatego zapis w jednej linijce nie jest raczej poprawny, lepiej zapisać to jako układ równań.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha = 0 \\ \sin \alpha=-1 \end{cases}}\)