Witam mam problem z tym przykładem:
\(\displaystyle{ 1 + \cos \alpha + i \cdot \sin \alpha =}\)
Z góry dzięki za pomoc.
Przedstaw w postaci trygonometrycznej
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Przedstaw w postaci trygonometrycznej
\(\displaystyle{ z=1+\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(1+\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha}=\sqrt{1+2\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha}=\sqrt{2+2\cos\alpha}=\sqrt{2}\sqrt{1+\cos\alpha}}\)
Teraz skorzystamy, ze wzoru trygonometrycznego (znanego)
\(\displaystyle{ \cos2x=2\sin^2x-1}\), skąd dostajemy
\(\displaystyle{ 1+\cos2x=2\sin^2x}\)
i po podstawieniu \(\displaystyle{ x=\frac{\alpha}{2}}\) mamy
\(\displaystyle{ 1+\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}}\).
Wracamy do modułu i mamy
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2}\sqrt{1+\cos\alpha}=\sqrt{2}\sqrt{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}=2\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|}\)
ale ponieważ \(\displaystyle{ \alpha\in[0,2\pi]}\), to \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}\in[0,\pi]}\), a w tym przedziale sinus jest dodatni skąd
\(\displaystyle{ |z|=2\sin\frac{\alpha}{2}}\)
Teraz obliczamy
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{1+\cos\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sin\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}}\)
W pierwszym stosujemy juz znaleziony wzór na \(\displaystyle{ 1+\cos\alpha}\), a w drugim skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ \sin\alpha=\sin2\cdot\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\) i dostaniemy
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=
\sin\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=
\cos\frac{\alpha}{2}}\)
No i stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}}\) To trzeba sprawdzić, albo plus pi/2, albo minus, trzeba zajrzeć do tablic
Pozostaje tylko zapisać postać trygonometryczną
\(\displaystyle{ z=2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\right)}\)
Może da się to jeszcze uprścić, ale to już zabawa.
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(1+\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha}=\sqrt{1+2\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha}=\sqrt{2+2\cos\alpha}=\sqrt{2}\sqrt{1+\cos\alpha}}\)
Teraz skorzystamy, ze wzoru trygonometrycznego (znanego)
\(\displaystyle{ \cos2x=2\sin^2x-1}\), skąd dostajemy
\(\displaystyle{ 1+\cos2x=2\sin^2x}\)
i po podstawieniu \(\displaystyle{ x=\frac{\alpha}{2}}\) mamy
\(\displaystyle{ 1+\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}}\).
Wracamy do modułu i mamy
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2}\sqrt{1+\cos\alpha}=\sqrt{2}\sqrt{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}=2\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|}\)
ale ponieważ \(\displaystyle{ \alpha\in[0,2\pi]}\), to \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}\in[0,\pi]}\), a w tym przedziale sinus jest dodatni skąd
\(\displaystyle{ |z|=2\sin\frac{\alpha}{2}}\)
Teraz obliczamy
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{1+\cos\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sin\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}}\)
W pierwszym stosujemy juz znaleziony wzór na \(\displaystyle{ 1+\cos\alpha}\), a w drugim skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ \sin\alpha=\sin2\cdot\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\) i dostaniemy
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=
\sin\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}=
\cos\frac{\alpha}{2}}\)
No i stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}}\) To trzeba sprawdzić, albo plus pi/2, albo minus, trzeba zajrzeć do tablic
Pozostaje tylko zapisać postać trygonometryczną
\(\displaystyle{ z=2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\right)}\)
Może da się to jeszcze uprścić, ale to już zabawa.