liczby zespolone

Secik · Post autor: **Secik** » 30 lis 2012, o 22:06

Znależć wszystkie z spełniające

\(\displaystyle{ z^{2} + (1+i)z=4+7i}\)

po podstawieniu \(\displaystyle{ z= x+yi}\) wychodzą mi dziwne rzeczy :/

clue · Post autor: **clue** » 30 lis 2012, o 22:12

Przenieś \(\displaystyle{ 4+7i}\) na lewą stronę i rozwiąż równanie kwadratowe.

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 30 lis 2012, o 22:16

\(\displaystyle{ z^{2} + (1+i)z=4+7i}\)

\(\displaystyle{ z^{2} + (1+i)z-(4+7i)=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = (1+i)^2 +4(4+7i) = 2i+16+28i=16+30i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 5+3i}\)

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{-(1+i)-(5+3i)}{2} = \frac{-6-4i}{2} = -3-2i}\)

\(\displaystyle{ z_2 = \frac{-(1+i)+5+3i}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i}\)

Andreas · Post autor: **Andreas** » 1 gru 2012, o 19:58

A jak obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt{16+30i}}\)?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 1 gru 2012, o 20:09

Np. ordynarnie zgadnąć, że to co pod pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ (5+3i) ^{2}}\). Czasem wychodzi ładnie, gdy zamienisz na trygonometryczną (i wtedy zawsze wiadomo, co robić), ale tu chyba wyszłoby brzydactwo.

Andreas · Post autor: **Andreas** » 1 gru 2012, o 20:17

Zgadnąć to znaczy? Ja tego nie zauważam od razu, a obliczenie tego zajmuje trochę czasu, i w ogóle wychodzą jakieś równania 4. stopnia, a z trygonometrycznej nie wychodzą znane kąty.

Marian517 · Post autor: **Marian517** » 1 gru 2012, o 20:27

Dla pierwiastków drugiego stopnia liczby zespolonej istnieje jakiś brzydki wzór:
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = \pm \left( \sqrt{ \frac{|z|+a}{2} } + i \cdot \mathrm{sgn} \, b \cdot \sqrt{ \frac{|z|-a}{2}} \right)}\)

snd0cff · Post autor: **snd0cff** » 1 gru 2012, o 21:54

nie zgadnac tylko obliczyc to w ten sposob:
\(\displaystyle{ \sqrt{16+30i}=x+iy}\) podnosisz do kwadratu i porównujesz

Andreas · Post autor: **Andreas** » 1 gru 2012, o 22:22

snd0cff pisze:nie zgadnac tylko obliczyc to w ten sposob:
\(\displaystyle{ \sqrt{16+30i}=x+iy}\) podnosisz do kwadratu i porównujesz

Ale tym sposobem wychodzi równanie dwukwadratowe i trwa to bardzo długo.

Vardamir · Post autor: **Vardamir** » 1 gru 2012, o 22:32

snd0cff pisze:nie zgadnac tylko obliczyc to w ten sposob:
\(\displaystyle{ \sqrt{16+30i}=x+iy}\) podnosisz do kwadratu i porównujesz

Dlaczego nie? Zgadywanie jest tu bardzo dobrą metodą.

Andreas · Post autor: **Andreas** » 1 gru 2012, o 23:43

Vardamir pisze:Zgadywanie jest tu bardzo dobrą metodą.

A możesz podać algorytm do tej metody?

Vardamir · Post autor: **Vardamir** » 1 gru 2012, o 23:52

Trzeba się doszukiwać wzorów skróconego mnożenia.

W tym przypadku jest to akurat \(\displaystyle{ (5+3i) ^{2}=25+30i-9}\)

snd0cff · Post autor: **snd0cff** » 10 gru 2012, o 23:53

Andreas pisze:
snd0cff pisze:nie zgadnac tylko obliczyc to w ten sposob:
\(\displaystyle{ \sqrt{16+30i}=x+iy}\) podnosisz do kwadratu i porównujesz
Ale tym sposobem wychodzi równanie dwukwadratowe i trwa to bardzo długo.

Ciekawe skąd tu weźmiesz równanie dwukwadratowe?
I te bardzo długie rozwiązanie zajmuje 5 linijek (3 minuty roboty)

A metoda zgadywania jest raczej dla tych bardziej "oswojonych" z tematem

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 11 gru 2012, o 01:20

Marian517 pisze:Dla pierwiastków drugiego stopnia liczby zespolonej istnieje jakiś brzydki wzór:
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = \pm \left( \sqrt{ \frac{|z|+a}{2} } + i \cdot \mathrm{sgn} \, b \cdot \sqrt{ \frac{|z|-a}{2}} \right)}\)

Ten wzorek nie jest do końca prawdziwy
Nie działa np dla ujemnych rzeczywistych