Pokaż, że jeśli liczba jest pierwiastkiem, to...

[Dartam]

Witam,
może mi ktoś objaśnić w jaki sposób wykonać to zadanie?

Niech \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) będą liczbami rzeczywistymi i niech \(\displaystyle{ w(z) = z^{4} + bz^{2} + c}\)

a) Pokaż, że jeśli liczba zespolona \(\displaystyle{ z_{1}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(z)}\), to jego pierwiastkami są też liczby \(\displaystyle{ z_{2} = -z_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ z_{3} = \overline{z}_{1}}\). Czemu musi być równy czwarty pierwiastek?

b) Niech liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) będą takie, że \(\displaystyle{ z_{1} = 2 + 2i}\) jest pierwiastkiem wielomianu w(z). Korzystając z poprzedniego podpunktu wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(z)}\) i rozłóż wielomian \(\displaystyle{ w(z)}\) na iloczyn rzeczywistych wielomianów nierozkładalnych. Nie wyznaczaj \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).

Jakieś wskazówki?

[bb314]

a) Pokaż, że jeśli liczba zespolona \(\displaystyle{ z_{1}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(z)}\), to jego pierwiastkiem jest też liczba \(\displaystyle{ z_{2} = -z_{1}}\)

\(\displaystyle{ z_1^2=(-z_1)^2\ \ \ \ oraz\ \ \ \ z_1^4=(-z_1)^4}\)

a) Pokaż, że jeśli liczba zespolona \(\displaystyle{ z_{1}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(z)}\), to jego pierwiastkiem jest też liczba \(\displaystyle{ z_{3} = \overline{z}_{1}}\)

Jest to równanie dwukwadratowe, czyli licząc z delty
\(\displaystyle{ z^2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2}\ \ \vee\ \ z^2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2}}\)
będą to liczby zespolone, gdy \(\displaystyle{ \Delta<0}\). wtedy będą to liczby sprzężone

Czemu musi być równy czwarty pierwiastek?

\(\displaystyle{ z_4=-z_3=-\overline z_1}\)

b) Niech liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) będą takie, że \(\displaystyle{ z_{1} = 2 + 2i}\) jest pierwiastkiem wielomianu w(z). Korzystając z poprzedniego podpunktu wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(z)}\) i rozłóż wielomian \(\displaystyle{ w(z)}\) na iloczyn rzeczywistych wielomianów nierozkładalnych. Nie wyznaczaj \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).

\(\displaystyle{ z_2=-2-2i\ \ \ \ \ z_3=2-2i\ \ \ \ \ z_4=-2+2i}\)

\(\displaystyle{ w(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)=(z-2-2i)(z+2+2i)(z-2+2i)(z+2-2i)=}\)

\(\displaystyle{ =\left[(z-2-2i)(z-2+2i)\right]\cdot\left[(z+2+2i)(z+2-2i)\right]=\left[ \left( z-2\right)^2-(2i)^2 \right]\cdot\left[ \left( z+2\right)^2-(2i)^2 \right]=}\)

\(\displaystyle{ =(z^2-4z+4+4)(z^2+4z+4+4)=\ \blue(z^2-4z+8)(z^2+4z+8)}\)