Liczby zespolone- znaleść z spełniające

[Secik]

Witam,

Czy ktoś mógłby mi rozwiązać zadanie: Znaleść wszystkie z spelniajace:

\(\displaystyle{ z + z ^{-1} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i}\)
oraz

Liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) spelniają rownanie

\(\displaystyle{ z+z ^{-1} = w + w ^{-1}}\) wykazać że \(\displaystyle{ z=w}\) lub \(\displaystyle{ z \cdot w = 1}\)

[scyth]

Pierwsze zadanie to zwykłe równanie kwadratowe, gdzie masz policzyć deltę (i mamy tu liczby zespolone, więc ujemna delta też jest dobra). Po prostu pomnóż równanie przez \(\displaystyle{ z}\).

Drugie - przenieś wszystko na jedną stronę, doprowadź do wspólnego mianownika i sprawdź, kiedy zeruje się licznik.

[Secik]

A czy mogę prosić o rozwiązanie od początku do końca ?:)

[scyth]

W pierwszym masz tak:
\(\displaystyle{ z^2 - \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i \right)z + 1 = 0}\)
I jedziesz z równaniem kwadratowym - chyba to umiesz.

W drugim:
\(\displaystyle{ z + \frac{1}{z} - w - \frac{1}{w} = 0}\)
sprowadź do wspólnego mianownika.

[Secik]

delta mi wyszła \(\displaystyle{ -1 + i}\) nie wiem jak dalej:/

w drugim mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{(z ^{2} + 1) \cdot w - (w^{2}-1) \cdot z}{zw}}\)

dobrze?

dałoby się krok po kroku te zadanka rozpisać?

[scyth]

1. Skoro \(\displaystyle{ \Delta = -1}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta } = ?}\)

2. Mały błąd:
\(\displaystyle{ \frac{(z ^{2} + 1)w - (w^{2}+1)z}{zw} = 0}\)
Ułamek jest równy zero gdy licznik jest równy zero, zatem:
\(\displaystyle{ (z ^{2} + 1)w - (w^{2}+1)z = 0 \\
wz^2+w-w^2z-z = 0 \\
wz(z-w) - (z-w) = 0 \\
(z-w)(wz-1) = 0}\)
No i to już prawie koniec.