Oblicz chociaż jeden

[Sorin]

Oblicz:

\(\displaystyle{ \sqrt{5-11i}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-3+4i}}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \sqrt{5-11i}=x+iy\\\\
5-11i=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy\\\\
\begin{cases}x^2-y^2=5\\2xy=-11\end{cases}}\)

i pozostaje wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)

[Sorin]

Dziękuje.

A co począć z takim typem równania?

\(\displaystyle{ x^{4}-6x^{2}+13=0}\)

[mmoonniiaa]

Delta jaka wyszła?

[Sorin]

\(\displaystyle{ -16x^{2}+48}\) ?

Bo postać równania może wyglądać tak:

\(\displaystyle{ (x^{2}-3)^{2}+4}\)

[mmoonniiaa]

Dla równania dwukwadratowego można normalnie policzyć deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=36-4 \cdot 13=-16=16i^2 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=4i}\)
Teraz wystarczy policzyć:
\(\displaystyle{ x^2= \pm \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}}\)

[Sorin]

Dzięki

[mmoonniiaa]

No i jeszcze na koniec \(\displaystyle{ x= \pm \sqrt{x^2}}\), ale to już pewnie wiesz. W sumie będą cztery rozwiązania.

[Sorin]

Argument liczby zespolonej z jest równy \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi}\) , natomiast jej moduł jest równy \(\displaystyle{ 625}\)

a) przedstaw tę liczbę w postaci algebraicznej
b) oblicz wszystkie jej pierwiastki stopnia 4
c) przedstaw obliczone pierwiastki na płaszczyźnie Gaussa

Proszę o wytłumaczenie krok po kroku. Wiem, że podpunkt a jest jakby odwrotnością zapisania liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej.

[octahedron]

\(\displaystyle{ z=|z|(\cos(\arg z)+i\sin(\arg z))}\)

a pierwiastki analogicznie jak wyżej

[Sorin]

Przedstaw w postaci algebraicznej a nie w trygonometrycznej.

[Koryfeusz]

a)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}=625 \\
\tan( \frac{y}{x})= \frac{4 \pi}{3}{} \end{cases}

\begin{cases} \frac{y}{x}= \sqrt{3} \Rightarrow y= \sqrt{3} x \\
\sqrt{x^2+3x^2}= \sqrt{4x^2}=2x=625 \Rightarrow x=312,5
\end{cases}

\begin{cases}
x=312,5
\\
y= \sqrt{3} x=312,5 \cdot \sqrt{3} = 534,4
\end{cases}}\)

b)

\(\displaystyle{ z_{k}= \sqrt[n]{625} \left( \cos\frac{(4+6k)\pi}{12}+\sin\frac{(4+6k)\pi}{12} \right) \\
k=0,1,2,3 \\
n=4}\)

\(\displaystyle{ z_{0} = 5 \frac{1+ \sqrt{3}i }{2} \\
z_{1} = 5 \frac{-\sqrt{3}+ i }{2} \\
z_{2} = 5 \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} \\
z_{3} = 5 \frac{\sqrt{3} - i}{2}}\)