Równania liczb zespolonych.

[Tomek1592]

Witam,
mam problem z dwoma zadaniami, które wyglądają następująco:

1. \(\displaystyle{ z ^{2}-3iz-3+i=0}\)
2. \(\displaystyle{ z ^{3}=(1+i) ^{6}}\)

Proszę o pomoc w sposobie rozwiązywania tychże zadań.

[bb314]

1.
to jest po prostu równanie kwadratowe, w którym \(\displaystyle{ i}\) jest stałą
rozwiązujesz normalnie deltą

2.
najsamwpierw musisz podnieść \(\displaystyle{ 1+i}\) do potęgi \(\displaystyle{ 6}\)
w tym celu musisz \(\displaystyle{ 1+i}\) przedstawić w postaci trygonometrycznej
następnie z tego co wyjdzie policzysz pierwiastki trzeciego stopnia

[Tomek1592]

1. Delta wyszła mi taka:

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{3+4i}}\)

I co mam z nią zrobić dalej, obliczać normalnie ze wzoru:

\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

czy coś jeszcze pod tym pierwiastkiem kombinować?

2. Może głupie pytanie ale czy nie można skrócić obustronnie tych potęg?

[bb314]

1. Delta wyszła mi taka:

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{3+4i}}\)

A mnie wyszedł \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{3-4i}=\sqrt{4-4i-1}=\sqrt{2^2-2\cdot2\cdot i+i^2}=\sqrt{(2-i)^2}=2-i}\)

I co mam z nią zrobić dalej, obliczać normalnie ze wzoru:

Tak.

2. Może głupie pytanie ale czy nie można skrócić obustronnie tych potęg?

Nie można. Jeśli „skrócisz”, to będziesz miał tylko jedno rozwiązanie.
A z układu (\(\displaystyle{ z^3=}\)coś tam) muszą wyjść trzy rozwiązania.