Liczba \(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3}}\) jest jednym z pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z.}\) Znaleźć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\).
Jak ugryźć takie zadanie ? proszę o pomoc.
znaleźć pierwiastki liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 487
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 226 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 487
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 226 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
znaleźć pierwiastki liczby zespolonej
\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{(1 - i\sqrt{3})^3}}\)
od razu możesz wyznaczyć też \(\displaystyle{ r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}}\) i zauważyć że \(\displaystyle{ \Delta\varphi = \frac{2\pi}{3}}\) - dzielimy okrąg na trzy części, bo mamy pierwiastek trzeciego stopnia.
Jak wyznaczysz \(\displaystyle{ z}\) to od razu powinnaś zauważyć, że ta liczba ma jeden pierwiastek rzeczywisty.
potem możesz przedstawić oba znane juz pierwiastki w postaci trygonometrycznej i korzystając z \(\displaystyle{ \Delta\varphi}\) wyliczyć trzeci.
No i wyjdzie że jeden pierwiastek jest sprzężeniem drugiego. Nie jestem jednak pewien czy tak jest zawsze (coś mi się kojarzy że jak mamy pierwiastek rzeczywisty to sprzężenia pozostałych pierwiastków także są pierwiastkami. Ale nie mam pewności co do tego).
Pzdr
od razu możesz wyznaczyć też \(\displaystyle{ r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}}\) i zauważyć że \(\displaystyle{ \Delta\varphi = \frac{2\pi}{3}}\) - dzielimy okrąg na trzy części, bo mamy pierwiastek trzeciego stopnia.
Jak wyznaczysz \(\displaystyle{ z}\) to od razu powinnaś zauważyć, że ta liczba ma jeden pierwiastek rzeczywisty.
potem możesz przedstawić oba znane juz pierwiastki w postaci trygonometrycznej i korzystając z \(\displaystyle{ \Delta\varphi}\) wyliczyć trzeci.
No i wyjdzie że jeden pierwiastek jest sprzężeniem drugiego. Nie jestem jednak pewien czy tak jest zawsze (coś mi się kojarzy że jak mamy pierwiastek rzeczywisty to sprzężenia pozostałych pierwiastków także są pierwiastkami. Ale nie mam pewności co do tego).
Pzdr