znaleźć pierwiastki liczby zespolonej

Karolina93 · Post autor: **Karolina93** » 27 lis 2012, o 14:20

Liczba \(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3}}\) jest jednym z pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z.}\) Znaleźć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\).

Jak ugryźć takie zadanie ? proszę o pomoc.

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 27 lis 2012, o 14:50

najpierw wyznacz \(\displaystyle{ z}\).

Karolina93 · Post autor: **Karolina93** » 27 lis 2012, o 14:55

W jaki sposób, z jakiego wzoru ?

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 27 lis 2012, o 15:13

\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{(1 - i\sqrt{3})^3}}\)

od razu możesz wyznaczyć też \(\displaystyle{ r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}}\) i zauważyć że \(\displaystyle{ \Delta\varphi = \frac{2\pi}{3}}\) - dzielimy okrąg na trzy części, bo mamy pierwiastek trzeciego stopnia.
Jak wyznaczysz \(\displaystyle{ z}\) to od razu powinnaś zauważyć, że ta liczba ma jeden pierwiastek rzeczywisty.
potem możesz przedstawić oba znane juz pierwiastki w postaci trygonometrycznej i korzystając z \(\displaystyle{ \Delta\varphi}\) wyliczyć trzeci.

No i wyjdzie że jeden pierwiastek jest sprzężeniem drugiego. Nie jestem jednak pewien czy tak jest zawsze (coś mi się kojarzy że jak mamy pierwiastek rzeczywisty to sprzężenia pozostałych pierwiastków także są pierwiastkami. Ale nie mam pewności co do tego).
Pzdr