Witam, tak brzmi zagadnienie: "Pokazać, że lliczby zespolone o module równym 1 stanowią podgrupę multplikatywnej grupy liczb zespolonych różnych od zera".
Jeśli ktoś to zrozumiał:( to prosiłbym o odpowiedź na to zagadnienie. Z góry Wielkie Dzięki
Pokazać, że liczby zespolone o module równym 1 stanowią
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Pokazać, że liczby zespolone o module równym 1 stanowią
\(\displaystyle{ (\mathbb{C} \backslash \{0\}}\) wraz z działaniem mnozenia tworzy grupe.
Niech:
\(\displaystyle{ A\subset \mathbb{C} \backslash\{0\}}\), takich,ze:
\(\displaystyle{ A=\{z\in\mathbb{C}\backslash\{0\},|z|=1\}}\)
Sprawdzamy,nastepnie czy \(\displaystyle{ (A,\cdot)}\) jest podgrupa grupy \(\displaystyle{ (\mathbb{C}\backslash\{0\},\cdot)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ z_1,z_2\in A}\)
Stad:
\(\displaystyle{ z_1=a+bi}\) gdzie \(\displaystyle{ |z_1|=a^2+b^2=1}\)
\(\displaystyle{ z_2=c+di}\) gdzie \(\displaystyle{ |z_2|=c^2+d^2=1}\)
Nastepnie, nalezy sprawdzic czy \(\displaystyle{ z_1\cdot z_2 A}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ s=z_1\cdot z_2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i}\)
\(\displaystyle{ |s|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=a^2c^2+b^2d^2-2abcd+a^2d^2+b^2c^2+2abcd=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ z_1\cdot z_2\in A}\)
Pozostało nam sprawdzic ostatni warunek:
\(\displaystyle{ \forall z\in A \quad z^{-1} A}\)
Niech:
\(\displaystyle{ z\in A}\) gdzie \(\displaystyle{ z=a+bi\\|z|=1}\)
Elementem neutralnym jest 1, bo:
\(\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}\backslash\{0\} \quad z\cdot 1 =z}\)
Stad otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z\cdot z^{-1}=1\\z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ |z^{-1}|=\sqrt{a^2+b^2}{(a^2+b^2)^2}=1\rightarrow z^{-1}\in A}\)
Wykazalismy zatem, ze liczby zespolone o module rownym 1 stanowia podgrupa multiplikatywnej grupy liczb zespolony roznych od zera.
Niech:
\(\displaystyle{ A\subset \mathbb{C} \backslash\{0\}}\), takich,ze:
\(\displaystyle{ A=\{z\in\mathbb{C}\backslash\{0\},|z|=1\}}\)
Sprawdzamy,nastepnie czy \(\displaystyle{ (A,\cdot)}\) jest podgrupa grupy \(\displaystyle{ (\mathbb{C}\backslash\{0\},\cdot)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ z_1,z_2\in A}\)
Stad:
\(\displaystyle{ z_1=a+bi}\) gdzie \(\displaystyle{ |z_1|=a^2+b^2=1}\)
\(\displaystyle{ z_2=c+di}\) gdzie \(\displaystyle{ |z_2|=c^2+d^2=1}\)
Nastepnie, nalezy sprawdzic czy \(\displaystyle{ z_1\cdot z_2 A}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ s=z_1\cdot z_2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i}\)
\(\displaystyle{ |s|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=a^2c^2+b^2d^2-2abcd+a^2d^2+b^2c^2+2abcd=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ z_1\cdot z_2\in A}\)
Pozostało nam sprawdzic ostatni warunek:
\(\displaystyle{ \forall z\in A \quad z^{-1} A}\)
Niech:
\(\displaystyle{ z\in A}\) gdzie \(\displaystyle{ z=a+bi\\|z|=1}\)
Elementem neutralnym jest 1, bo:
\(\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}\backslash\{0\} \quad z\cdot 1 =z}\)
Stad otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z\cdot z^{-1}=1\\z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ |z^{-1}|=\sqrt{a^2+b^2}{(a^2+b^2)^2}=1\rightarrow z^{-1}\in A}\)
Wykazalismy zatem, ze liczby zespolone o module rownym 1 stanowia podgrupa multiplikatywnej grupy liczb zespolony roznych od zera.