Jak przedstawic na plaszczyznie nastepujace 2 nierownosci
1) \(\displaystyle{ \frac{|z+i|}{|z^2+1|}}\)
2) \(\displaystyle{ 3|z+i| \le |z^2+1| < 5|z-i|}\)
Glownie nie wiem jak sie pozbyc tego kwadratu.
Nierownosc zespolone
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Nierownosc zespolone
2)
\(\displaystyle{ \blue 3|z+i| \le |z^2+1| < 5|z-i|}\)
\(\displaystyle{ |z^2+1|=|(z-i)(z+i)|=|z-i|\cdot|z+i|}\)
rozpatrzmy oddzielnie obie nierówności
\(\displaystyle{ 3|z+i|\le|z-1|\cdot|z+1|\ \ \to\ \ 3\le|z-1|}\)
ta nierówność oznacza, że odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) od punktu \(\displaystyle{ (1,\ 0)}\) jest \(\displaystyle{ \ge3}\)
obrazem tej nierówności jest cała płaszczyzna oprócz wnętrza koła o środku w \(\displaystyle{ (1,\ 0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ |z-i|\cdot|z+i|<5|z-i|\ \ \to\ \ |z+1|<5}\)
ta nierówność oznacza, że odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) od punktu \(\displaystyle{ (-1,\ 0)}\) jest \(\displaystyle{ <5}\)
obrazem tej nierówności jest wnętrze koła o środku w \(\displaystyle{ (-1,\ 0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 5}\)
rozwiązaniem zadania jest część wspólna tych dwóch obrazów, czyli
obszar między tymi okręgami plus mniejszy okrąg
\(\displaystyle{ \blue 3|z+i| \le |z^2+1| < 5|z-i|}\)
\(\displaystyle{ |z^2+1|=|(z-i)(z+i)|=|z-i|\cdot|z+i|}\)
rozpatrzmy oddzielnie obie nierówności
\(\displaystyle{ 3|z+i|\le|z-1|\cdot|z+1|\ \ \to\ \ 3\le|z-1|}\)
ta nierówność oznacza, że odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) od punktu \(\displaystyle{ (1,\ 0)}\) jest \(\displaystyle{ \ge3}\)
obrazem tej nierówności jest cała płaszczyzna oprócz wnętrza koła o środku w \(\displaystyle{ (1,\ 0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ |z-i|\cdot|z+i|<5|z-i|\ \ \to\ \ |z+1|<5}\)
ta nierówność oznacza, że odległość punktu \(\displaystyle{ z}\) od punktu \(\displaystyle{ (-1,\ 0)}\) jest \(\displaystyle{ <5}\)
obrazem tej nierówności jest wnętrze koła o środku w \(\displaystyle{ (-1,\ 0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 5}\)
rozwiązaniem zadania jest część wspólna tych dwóch obrazów, czyli
obszar między tymi okręgami plus mniejszy okrąg