Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwiastek z liczby zespolonej
Witam mam problem z tym równaniem \(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt 3+i}}}\) obliczam moduł \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i potem chcę obliczyć cosinus i sinus kąta, ale wychodzi mi \(\displaystyle{ \cos = \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\) i nie wiem co dalej z tym zrobić
Ostatnio zmieniony 2 gru 2012, o 12:36 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Pierwiastek z liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \blue z=\sqrt[6]{(1-i)/(\sqrt 3+i)}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{1-i}{\sqrt 3+i}=\frac{(1-i)(\sqrt3-i)}{(\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}=\frac{\sqrt3-i-\sqrt3i+i^2}{\left( \sqrt3\right)^2-i^2}=\frac{\sqrt3-1}{4}-\frac{\sqrt3+1}{4}i}\)
\(\displaystyle{ |a|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3-1}{4} \right)^2+\left(\frac{\sqrt3+1}{4} \right)^2 }=\sqrt\frac{3-2\sqrt3+1+3+2\sqrt3+1}{4^2}=\frac{\sqrt2}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{\frac{\sqrt3-1}{4}}{\frac{\sqrt2}{2}}- \frac{\frac{\sqrt3+1}{4}}{\frac{\sqrt2}{2}}i\right)=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}- \frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}i\right)}\)
kosinus jest dodatni, sinus jest ujemny, czyli argument liczby \(\displaystyle{ a}\) jest w IV ćwiartce, więc
\(\displaystyle{ \arg a=\ \blue\varphi=2\pi-\arccos\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt2}{2}\left( \cos\varphi+i\,\sin\varphi\right)}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt[6]a=\ \red\sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{2}}\left( \cos\frac{\varphi+2k\pi}{6}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{6}\right)\ \ \ \ k=\{0,1,2,3,4,5\}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{1-i}{\sqrt 3+i}=\frac{(1-i)(\sqrt3-i)}{(\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}=\frac{\sqrt3-i-\sqrt3i+i^2}{\left( \sqrt3\right)^2-i^2}=\frac{\sqrt3-1}{4}-\frac{\sqrt3+1}{4}i}\)
\(\displaystyle{ |a|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3-1}{4} \right)^2+\left(\frac{\sqrt3+1}{4} \right)^2 }=\sqrt\frac{3-2\sqrt3+1+3+2\sqrt3+1}{4^2}=\frac{\sqrt2}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{\frac{\sqrt3-1}{4}}{\frac{\sqrt2}{2}}- \frac{\frac{\sqrt3+1}{4}}{\frac{\sqrt2}{2}}i\right)=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}- \frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}i\right)}\)
kosinus jest dodatni, sinus jest ujemny, czyli argument liczby \(\displaystyle{ a}\) jest w IV ćwiartce, więc
\(\displaystyle{ \arg a=\ \blue\varphi=2\pi-\arccos\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt2}{2}\left( \cos\varphi+i\,\sin\varphi\right)}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt[6]a=\ \red\sqrt[6]{\frac{\sqrt2}{2}}\left( \cos\frac{\varphi+2k\pi}{6}+i\,\sin\frac{\varphi+2k\pi}{6}\right)\ \ \ \ k=\{0,1,2,3,4,5\}}\)