\(\displaystyle{ (1 + i \sqrt{3})^7}\)
Mój wynik to \(\displaystyle{ -64 \sqrt{3} -64i.}\) Wynik w podręczniku ma inne znaki, czyli\(\displaystyle{ 64 \sqrt{3} + 64.}\) Dlaczego? Skoro wg. moich obliczeń poruszamy się w III ćw.
Liczba zespolona do 7 potęgi.
-
myszka9
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Liczba zespolona do 7 potęgi.
\(\displaystyle{ |z| = 2
\cos = \frac{1}{2} , \sin = \frac{ \sqrt{3} }{2} ->}\) I ĆW
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3}
2^7(\cos6\pi +1 \frac{1}{3}\pi + \sin6\pi i\frac{4}{3}\pi)}\)
III ĆW -> \(\displaystyle{ \pi + \frac{1}{3}\pi}\)
IIIćw - \(\displaystyle{ \cos \ i \ \sin}\) ujemne.
\(\displaystyle{ 128(- \frac{ \sqrt{3}} {2} - \frac{1}{2}i ) = -64 \sqrt{3} -64i.}\)
\cos = \frac{1}{2} , \sin = \frac{ \sqrt{3} }{2} ->}\) I ĆW
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3}
2^7(\cos6\pi +1 \frac{1}{3}\pi + \sin6\pi i\frac{4}{3}\pi)}\)
III ĆW -> \(\displaystyle{ \pi + \frac{1}{3}\pi}\)
IIIćw - \(\displaystyle{ \cos \ i \ \sin}\) ujemne.
\(\displaystyle{ 128(- \frac{ \sqrt{3}} {2} - \frac{1}{2}i ) = -64 \sqrt{3} -64i.}\)
-
777Lolek
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
Liczba zespolona do 7 potęgi.
jeśli robisz to w ten sposób..
\(\displaystyle{ |z| = 2 \ , \ \cos\varphi = \frac{1}{2} \ , \ \sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ z^7 = 2^7\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)^7 \\
z^7 = 128\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)\\
z^7 = 128\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi\right)\right) \\
z^7 = 128\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \\
z^7 = 128\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\
z^7 = 64 + 64\sqrt{3}i}\)
Chociaż moim zdaniem lepiej po prostu obliczyć, przy użyciu najprostszych wzorów na mnożenie nawiasów, wyrażenie \(\displaystyle{ (1 + i \sqrt{3})^7 = \left(\left(1+i\sqrt{3}\right)^2\right)^3\left(1 + i\sqrt{3}\right) = ...}\)
\(\displaystyle{ |z| = 2 \ , \ \cos\varphi = \frac{1}{2} \ , \ \sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ z^7 = 2^7\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)^7 \\
z^7 = 128\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)\\
z^7 = 128\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi\right)\right) \\
z^7 = 128\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \\
z^7 = 128\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\
z^7 = 64 + 64\sqrt{3}i}\)
Chociaż moim zdaniem lepiej po prostu obliczyć, przy użyciu najprostszych wzorów na mnożenie nawiasów, wyrażenie \(\displaystyle{ (1 + i \sqrt{3})^7 = \left(\left(1+i\sqrt{3}\right)^2\right)^3\left(1 + i\sqrt{3}\right) = ...}\)