\(\displaystyle{ \sqrt[4]{3+4i}}\)
Dalej mam zrobić tak:
\(\displaystyle{ 3+4i = z^{4}}\)
Czy jest na to jakiś łatwiejszy sposób?
Pierwiastki liczby zespolonej
-
Gadziu
- Użytkownik
- Posty: 653
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Radom
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 48 razy
Pierwiastki liczby zespolonej
Nie tak się liczy pierwiastek l. zespolonej. Musisz zamienić na postać trygonometryczną i skorzystać ze wzoru: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\left\{ \sqrt[n]{\left| z\right| }\left( \cos \frac{ \alpha + 2k \pi }{n}+sin \frac{ \alpha + 2k \pi }{n}i \right): k=0,1,2,..., n-1\right\}}\)
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Pierwiastki liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{3+4i}}\)
\(\displaystyle{ |3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5}\)
\(\displaystyle{ 3+4i=5\left( \frac35+\frac45i\right) =5\left( \cos\varphi+i\,\sin\varphi\right)\ \ \to\ \ \ \blue\cos\varphi=\frac35}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{5\left( \cos\varphi+i\,\sin\varphi\right)}= \begin{cases} \red\sqrt[4]5\left( \cos\frac{\varphi}{4}+i\,\sin\frac{\varphi}{4}\right) \\ \sqrt[4]5\left[ \cos\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)+i\,\sin\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)\right] = \red\sqrt[4]5\left( -\sin\frac{\varphi}{4}+i\,\cos\frac{\varphi}{4}\right) \\ \sqrt[4]5\left[ \cos\left(\frac{\varphi}{4}+\pi\right)+i\,\sin\left(\frac{\varphi}{4}+\pi\right)\right]=\red\sqrt[4]5\left( -\cos\frac{\varphi}{4}-i\,\sin\frac{\varphi}{4}\right) \\ \sqrt[4]5\left[ \cos\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{3\pi}{2}\right)+i\,\sin\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{3\pi}{2}\right)\right] =\red\sqrt[4]5\left( \sin\frac{\varphi}{4}-i\,\cos\frac{\varphi}{4}\right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\varphi}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}}{2}}\ \to\ \red\cos\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{10}}}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\varphi}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}}{2}}\ \to\ \red\sin\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{5-2\sqrt5}{10}}}\)
\(\displaystyle{ |3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5}\)
\(\displaystyle{ 3+4i=5\left( \frac35+\frac45i\right) =5\left( \cos\varphi+i\,\sin\varphi\right)\ \ \to\ \ \ \blue\cos\varphi=\frac35}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{5\left( \cos\varphi+i\,\sin\varphi\right)}= \begin{cases} \red\sqrt[4]5\left( \cos\frac{\varphi}{4}+i\,\sin\frac{\varphi}{4}\right) \\ \sqrt[4]5\left[ \cos\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)+i\,\sin\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)\right] = \red\sqrt[4]5\left( -\sin\frac{\varphi}{4}+i\,\cos\frac{\varphi}{4}\right) \\ \sqrt[4]5\left[ \cos\left(\frac{\varphi}{4}+\pi\right)+i\,\sin\left(\frac{\varphi}{4}+\pi\right)\right]=\red\sqrt[4]5\left( -\cos\frac{\varphi}{4}-i\,\sin\frac{\varphi}{4}\right) \\ \sqrt[4]5\left[ \cos\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{3\pi}{2}\right)+i\,\sin\left(\frac{\varphi}{4}+\frac{3\pi}{2}\right)\right] =\red\sqrt[4]5\left( \sin\frac{\varphi}{4}-i\,\cos\frac{\varphi}{4}\right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\varphi}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}}{2}}\ \to\ \red\cos\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{10}}}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\varphi}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}}{2}}\ \to\ \red\sin\frac{\varphi}{4}=\sqrt{\frac{5-2\sqrt5}{10}}}\)
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Pierwiastki liczby zespolonej
skorzystałam dwukrotnie ze wzorów na funkcje połowy kąta
\(\displaystyle{ \blue \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\ \ \ \ \ \ \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \blue \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\ \ \ \ \ \ \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}}\)