Ośmiokąt foremny

[marlenka111]

Niech \(\displaystyle{ w_{1}=-4+3i}\) oraz \(\displaystyle{ w_{5}=4-3i}\) będą przeciwległymi wierzchołkami ośmiokąta foremnego na płaszczyźnie zespolonej. Wykorzystując własności liczb zespolonych, wyznacz postać algebraiczną liczb zespolonych odpowiadających pozostałym wierzchołkom tego ośmiokąta.

[777Lolek]

przedstaw jedną z tych liczb w postaci trygonometrycznej, a następnie zauważ, że \(\displaystyle{ \Delta \varphi = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}}\) , tzn. że każdy kolejny wierzchołek ma kąt o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) większy. Wierzchołków jest osiem, dlatego dzielimy nasz kąt pełny \(\displaystyle{ 2\pi}\) na osiem części. Ośmiokąt jest foremny więc kąty wewnętrzne są sobie równe i tak możemy to rozwiązać. Tak przedstawisz w postaci tej trygonometrycznej wszystkie wierzchołki, następnie wystarczy zamienić na postać algebraiczną.

[marlenka111]

A skąd my wiemy, że środek tego ośmiokąta jest w punkcie (0,0)? Bo żeby zastosować tą własność to ośmiokąt foremny musi być wpisany w koło o środku (0,0).

[bb314]

A skąd my wiemy, że środek tego ośmiokąta jest w punkcie (0,0)?

stąd, że \(\displaystyle{ w_1}\) i \(\displaystyle{ w_5}\) są wierzchołkami przeciwległymi, czyli przekątna łącząca te punkty przechodzi przez środek ośmiokąta (środek okręgu opisanego na nim), oraz, że
\(\displaystyle{ |w_1|=|w_5|=5}\) co oznacza, że te dwa wierzchołki są równo odległe od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\)
oraz, że promień okręgu opisanego \(\displaystyle{ =5}\)