rozwiązać równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Majin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 maja 2011, o 14:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

rozwiązać równanie

Post autor: Majin »

Dawno nie miałem liczb zespolonych. Bardzo bym prosił o pomoc w 2 przykładach:
\(\displaystyle{ i(z)^2+2z+i=0}\) ; \(\displaystyle{ \frac{(i-1)^4^0}{( \sqrt{6}-i \sqrt{2})^1^3 } = \frac{k^4^0}{m^1^3}}\)
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

rozwiązać równanie

Post autor: bb314 »

w pierwszym podstaw \(\displaystyle{ z=a+bi}\), wymnóż co trzeba, podnieś do kwadratu
nastepnie przyrównaj część rzeczywistą i urojoną do zera
otrzymasz układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

w drugim przedstaw liczby zespolone z licznika i mianownika w postaci trygonometrycznej
Majin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 maja 2011, o 14:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

rozwiązać równanie

Post autor: Majin »

jakieś bzdury mi wychodza;/ bardzo prosilbym o jakies sczegolowe rozwiazanie.
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

rozwiązać równanie

Post autor: bb314 »

Prosisz i masz

„na piechotę”
\(\displaystyle{ i(z)^2+2z+i=0\ \ \ z=a+bi\ \ \to\ \ i(a+bi)^2+2(a+bi)+i=0}\)

\(\displaystyle{ i(a^2+2abi+b^2i^2)+2a+2bi+i=i(a^2+2abi-b^2)+2a+2bi+i=}\)

\(\displaystyle{ =a^2i+2abi^2-b^2i+2a+2bi+i=a^2i-2ab-b^2i+2a+2bi+i=}\)

\(\displaystyle{ =-2ab+2a+(a^2-b^2+2b+1)i=0\ \ \to\ \ \begin{cases} -2ab+2a=0 \ \ \to\ \ \blue b=1\\ a^2-b^2+2b+1=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a^2-1^2+2\cdot1+1=0\ \ \to\ \ a^2+2=0\ \ \to\ \ a=\sqrt2i\ \ \vee\ \ a=-\sqrt2i}\)

\(\displaystyle{ z=-\sqrt2i+1\cdot i=\ \red(1-\sqrt2)i\black\ \vee\ \ z=\sqrt2i+1\cdot i=\ \red(1+\sqrt2)i}\)


„na skróty”
\(\displaystyle{ i(z)^2+2z+i=0\ \ /\cdot(-i)\ \ \to\ \ \blue z^2-2zi+1=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=(-2i)^2-4\cdot1\cdot1=4i^2-4=-4-4=-8\ \ \to\ \ \sqrt{\Delta}=2\sqrt2i}\)

\(\displaystyle{ z_1=\frac{-(-2i)-2\sqrt2i}{2\cdot1}=\frac{2i-2\sqrt2i}{2}=\frac{2i(1-\sqrt2)}{2}=\ \red (1-\sqrt2)i}\)

\(\displaystyle{ z_2=\frac{-(-2i)+2\sqrt2i}{2\cdot1}=\frac{2i+2\sqrt2i}{2}=\frac{2i(1+\sqrt2)}{2}=\ \red (1+\sqrt2)i}\)
Majin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 12 maja 2011, o 14:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

rozwiązać równanie

Post autor: Majin »

Ah, "i do kwadratu podniosłem i zamieniłem a o "b już zapomniałem i mi powychodziły kwiatki:)
A ten drugi przykład? niby mi coś wychodzi ale żeby zapiać wynik jak to dane jest w przykladzie.... Tez bym prosił.
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

rozwiązać równanie

Post autor: bb314 »

Prosisz i masz

\(\displaystyle{ \frac{(i-1)^{40}}{( \sqrt{6}-i \sqrt{2})^{13} } = \frac{k^{40}}{m^{13}}}\)

\(\displaystyle{ i-1=\sqrt2\left( -\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=\sqrt2\left( \cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\right)}\)

\(\displaystyle{ \left( i-1\right)^{40}=\left( \sqrt2\right)^{40}\left( \cos\frac{40\cdot3\pi}{4}+i\,\sin\frac{40\cdot3\pi}{4}\right)=\left( \sqrt2\right)^{40}\left( \cos30\pi+i\,\sin30\pi\right)=}\)

\(\displaystyle{ =\left( \sqrt2\right)^{40}\left( 1+0\right)=\left( \sqrt2\right)^{40}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt6-\sqrt2i=\sqrt8\left( \frac{\sqrt6}{\sqrt8}-\frac{\sqrt2}{\sqrt8}i\right)=2\sqrt2\left( \frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}i\right)=2\sqrt2\left( \cos\frac{11\pi}{6}+i\,\sin\frac{11\pi}{6}\right)}\)

resztę już na podobieństwo powyższego Ty dokończ
ODPOWIEDZ