Dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) obliczyć wyrażenie \(\displaystyle{ (1+\cos \varphi + i \sin \varphi)^n}\).
W ogóle nie mam pomysłu jak się za to zabrać.
postać trygonometryczna
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ 1+\cos\varphi = 2\cos^2\frac{\varphi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi = 2\sin\frac{\varphi}{2} \cdot \cos \frac{\varphi}{2}}\)
\(\displaystyle{ (1+\cos\varphi + i\sin\varphi )^n = (2\cos^2\frac{\varphi}{2} + i2\sin\frac{\varphi}{2} \cdot \cos \frac{\varphi}{2})^n = 2^n\cos^n \frac{\varphi}{2} (\cos \frac{\varphi}{2} + i\sin \frac{\varphi}{2})^n = 2^n\cos^n \frac{\varphi}{2} ( \cos \frac{n\varphi}{2} + i\sin \frac{n\varphi}{2})}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi = 2\sin\frac{\varphi}{2} \cdot \cos \frac{\varphi}{2}}\)
\(\displaystyle{ (1+\cos\varphi + i\sin\varphi )^n = (2\cos^2\frac{\varphi}{2} + i2\sin\frac{\varphi}{2} \cdot \cos \frac{\varphi}{2})^n = 2^n\cos^n \frac{\varphi}{2} (\cos \frac{\varphi}{2} + i\sin \frac{\varphi}{2})^n = 2^n\cos^n \frac{\varphi}{2} ( \cos \frac{n\varphi}{2} + i\sin \frac{n\varphi}{2})}\)