Algebra pierwiastki z liczby

[dutra22]

Może ktoś wyjaśnić jakie są pierwiastki z liczby 2, 4, 6, 8, 12 i co to jest? Mamy nauczyć się ich na pamięć, ale niestety wykładowca nam ich nie podał i nikt nie wie o co chodzi.-- 21 lis 2012, o 21:53 --Jeśli to w czymś pomoże: to chyba ma coś wspólnego z kołem o promieniu 1 na układzie współrzędnych.

[Glo]

Na mocy podstawowego twierdzenia algebry, wielomian n-tego stopnia ma n pierwiastków. Tak więc wielomian:

\(\displaystyle{ z^n=2}\)

Gdzie z jest liczbą zespoloną.
Musi mieć n pierwiastków. Nie widać tego na pierwszy rzut oka, ale z wykładów powinieneś wiedzieć, że:

\(\displaystyle{ e^{2k\pi i} = \cos (2k\pi) +i \sin (2k\pi) = 1}\)

Gdzie k jest całkowite.
Czyli ja pomnożysz dwójkę przez takie wyrażenie, to nic się nie zmieni: nadal będziesz miał jedynkę. Zróbmy więc tak:

\(\displaystyle{ z^n=2e^{2k\pi i}\)

I wyciągnijmy pierwiastek:

\(\displaystyle{ z=\sqrt[n]{2}e^{\frac{2k\pi i}{n}}}\)

I teraz podstawiając kolejne k całkowite otrzymasz wartości kolejnych pierwiastków. Możesz je przedstawić za pomocą różnych postaci liczb zespolonych. Jeżeli n=a, to podstawiając a kolejnych k otrzymasz wszystkie a pierwiastków.

Aha, co do Twojego okręgu: jeżeli liczylibyśmy pierwiastki z jedynki, to owszem, tak właśnie by było. Tu mamy natomiast pierwiastki z 2 (lub odpowiednio kolejnych liczb). W ostatnim wzorze masz n-ty pierwiastek razy funkcja razy potęga liczby e. Pierwsze odpowiada za moduł liczby zespolonej (odległość od środka), drugie natomiast za położenie kątowe (argument liczby zespolonej). Tak więc na płaszczyźnie pierwiastki będą reprezentowane przez punkty odległe od środka o \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}}\) a ich rozmieszczenie na okręgu będzie regulowane przez kolejne kąty dla kolejnych k.

[dutra22]

A to nie jest to?

[Glo]

Czytaj ze zrozumieniem. Zadałeś sobie trochę trudu żeby przeczytać całego posta? Napisałem o tym również i nawiązałem do pierwiastka z jedynki, ale widocznie nie uznałeś za słuszne się wczytać.