Wykazać nierówność

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
marlenka111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 11:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 2 razy

Wykazać nierówność

Post autor: marlenka111 »

Wykaż, że dla dowolnych elementów \(\displaystyle{ z_{1},z_{2}}\) w ciele liczb zespolonych prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ \left| \left| z_{1}\right| -\left| z_{2}\right|\right| \le \left| z_{1}+z_{2}\right|}\)
szw1710

Wykazać nierówność

Post autor: szw1710 »

Jest to prosta konsekwencja nierówności trójkąta:

\(\displaystyle{ |z_1|=|(z_1+z_2)-z_2|\le |z_1+z_2|+|z_2|}\)

Teraz zamień rolami \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\).

Tu nie chodzi o liczby zespolone - to własność normy i taką samą nierówność mamy w dowolnej przestrzeni unormowanej. Dokładniej: \(\displaystyle{ \bigl|\|x\|-\|y\|\bigr|\le \|x+y\|.}\)
Pancernik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 634
Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 143 razy

Wykazać nierówność

Post autor: Pancernik »

\(\displaystyle{ \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|\le\left|z_1+z_2\right|\\
\left(\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right)^2\le\left(z_1+z_2\right)^2\\
z_1^2-2\left|z_1\right|\left|z_2\right|+z_2^2\le z_1^2+2z_1z_2+z_2^2\\
-2\left|z_1\right|\left|z_2\right|\le 2z_1z_2\\
\left|z_1\right|\left|z_2\right|\ge -z_1z_2\\
\left|z_1z_2\right|\ge -z_1z_2}\)
szw1710

Wykazać nierówność

Post autor: szw1710 »

Pancernik, to są liczby zespolone!!! Nieprawdą jest, że zawsze \(\displaystyle{ |z|^2=z^2}\). Podajesz rozumowanie właściwe dla liczb rzeczywistych. A już ostatnia linia - nie można porównywać liczb zespolonych.
Pancernik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 634
Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 143 razy

Wykazać nierówność

Post autor: Pancernik »

Ok
murfy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 3 lis 2012, o 16:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bełżyce
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 8 razy

Wykazać nierówność

Post autor: murfy »

\(\displaystyle{ \left| z_{1}\right|=\left| \left( z_{1}-z_{2}\right) + z_{2} \right| \le \left| z_{1}-z_{2} \right|+\left| z_{2}\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z_{1}\right| \le \left| z_{1}-z_{2} \right|+\left| z_{2}\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z_{1}\right| - \left| z_{2}\right| \le \left| z_{1}-z_{2} \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| z_{2}\right|=\left| \left( z_{2}-z_{1}\right) + z_{1} \right| \le \left| z_{2}-z_{1} \right|+\left| z_{1}\right| = \left| z_{1} - z_{2}\right| + \left| z_{1}\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z_{2}\right| \le \left| z_{1} - z_{2}\right| + \left| z_{1}\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z_{2}\right| - \left| z_{1}\right| \le \left| z_{1}-z_{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ - \left( \left| z_{2}\right| - \left| z_{1}\right| \right) \le \left| z_{1}-z_{2} \right| \setminus \cdot \left( -1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left| z_{1}\right| - \left| z_{2}\right| \ge -\left| z_{1}-z_{2} \right|}\)

\(\displaystyle{ -\left| z_{1}-z_{2}\right| \le \left| z_{1}\right| - \left| z_{2}\right| \le \left| z_{1}-z_{2}\right|}\)
\(\displaystyle{ \left|\left| z_{1}\right| - \left| z_{2}\right| \right| \le \left| z_{1}-z_{2}\right|}\)
szw1710

Wykazać nierówność

Post autor: szw1710 »

murfy, to klasyczna nierówność i cytowane rozumowanie też jest klasyczne. Zauważ jednak, że mieliśmy tu wersję z plusem - ale idzie zupełnie analogicznie.
ODPOWIEDZ