Pierwiastek liczby zespolonej

[photer92]

Proszę o pomoc przy rozwiązaniu pierwiastków tej liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \ \sqrt{-2+3i}}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sqrt{-2+3i}=z}\)

i do kwadratu

[pixpol]

Nie rozumiem. Wychodzi mi, że: \(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{-2}{ \sqrt{13} } \qquad \sin \alpha= \frac{3}{ \sqrt{13} }}\) i co dalej z tym można zrobić?

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \left( a+b\text{i} \right)^2=-2+3\text{i} \\
a^2-b^2+2ab\text{i}=-2+3\text{i}}\)
Teraz przyrównujesz części rzeczywiste i urojone:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=-2 \\ 2ab=3 \end{cases}}\)

[photer92]

\(\displaystyle{ \
\begin{cases} a^{2}-b^{2} = -2 \\ 2ab=3 \\ a^{2}+b^{2} = \sqrt{\left( -2\right) ^{2} +3 ^{2} } \end{cases}}\)
Następnie skracam \(\displaystyle{ \ -b ^{2}}\) z \(\displaystyle{ \ b ^{2}}\)
wychodzi mi
\(\displaystyle{ \ 2a^{2}=-2 + \sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ \ a^{2}= \frac{-2 + \sqrt{13} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \ a= \sqrt{\frac{-2 + \sqrt{13} }{2} }}\)

Jak policzyć parametr \(\displaystyle{ \ b}\) i jak to zrtobić żeby wyszły mi pierwiastki \(\displaystyle{ \ z _{1} i z _{2}}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ 2ab=3 \Rightarrow a= \frac{3}{2b} \\
a^2-b^2=-2 \\
\frac{9}{4b^2}-b^2=-2 \\
9-4b^4=-8b^2 \\
t=b^2 \\
4t^2-8t-9=0 \\
t= \frac{2-\sqrt{13}}{2} \vee t= \frac{2+\sqrt{13}}{2} \\
b= \sqrt{\frac{2-\sqrt{13}}{2}} \vee b= \sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}{2}} \\
a= \frac{3}{2\sqrt{\frac{2-\sqrt{13}}{2}}} \vee a= \frac{3}{2 \sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}{2}}}}\)

Otrzymujesz liczby zespolone postaci:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2\sqrt{\frac{2-\sqrt{13}}{2}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{13}}{2}}\text{i} \\
\frac{3}{2 \sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}{2}}}+\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}{2}}\text{i}}\)

[photer92]

A skąd się wziął parametr \(\displaystyle{ \ t}\) chodzi mi o to:
\(\displaystyle{ \ t=\frac{2- \sqrt{13} }{2}}\)

i

\(\displaystyle{ \ t=\frac{2+ \sqrt{13} }{2}}\)

[Lbubsazob]

W równaniu \(\displaystyle{ 9-4b^4=-8b^2}\) podstawiłam \(\displaystyle{ t=b^2}\).