Zbiór liczb zespolonych z spełniających podane warunki

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
white-tailed eagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 19 lis 2012, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Zbiór liczb zespolonych z spełniających podane warunki

Post autor: white-tailed eagle »

Otóż mam takie zadanko:
Znaleźć zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) \(\displaystyle{ z^{2}= \overline{z}^{2}}\)

Odpowiedzią jest: "suma obu osi", co wydaję się oczywiste, ale jak próbuję to zrobić z argumentu potęgi:
\(\displaystyle{ z^{2}=\overline{z}^{2}}\)
\(\displaystyle{ \arg z^{2}=\arg \overline{z}^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \arg z=2 \arg \overline{z}}\)
\(\displaystyle{ 2 \arg z=2 \arg (2\pi - arg z)}\)
\(\displaystyle{ 4 \arg z=4\pi}\)
Więc
\(\displaystyle{ arg z = \pi}\)
Stąd
\(\displaystyle{ z \in ( (0, 0), (- \infty, 0))}\) A nie suma dwóch osi.
Gdzie robię błąd?
Może złe jest to przekształcenie, że jak
\(\displaystyle{ z^{2}=\overline{z}^{2}}\)
to
\(\displaystyle{ \arg z^{2}=\arg \overline{z}^{2}}\)?
Bo jak robię normalnie z definicji sprzężenia liczby zespolonej to ładnie wszystko wychodzi, ale chciałbym to umieć zrobić na argumentach, bo potem mam trudniejsze przykłady i stoję w miejscu
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

Zbiór liczb zespolonych z spełniających podane warunki

Post autor: bb314 »

\(\displaystyle{ z^{2}=\overline{z}^{2}\ \ \Rightarrow\ \ \ \begin{cases}\arg z^{2}=\arg \overline{z}^{2}\ \ \to\ \ \begin{cases}2\arg z=2\arg \overline{z}=2(-\arg z)\ \ \to\ \ \blue\arg z=0\\\black lub\\2\arg z=2(2\pi-\arg z)\ \ \to\ \ \blue \arg z=\pi\end{cases}\\lub\\\arg z^{2}+2\pi=\arg \overline{z}^{2}\ \ \to\ \ 2\arg z+2\pi=2(-\arg z)\ \ \to\ \ \blue \arg z=-\frac{\pi}{2}\black\\lub\\\arg z^{2}=2\pi+\arg \overline{z}^{2}\ \ \to\ \ 2\arg z=2\pi +2(-\arg z)\ \ \to\ \ \blue\arg z=\frac{\pi}{2}\end{cases}}\)
white-tailed eagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 19 lis 2012, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Zbiór liczb zespolonych z spełniających podane warunki

Post autor: white-tailed eagle »

Mógłbyś mi wytłumaczyć, czemu
\(\displaystyle{ \arg \overline{z}}\)
to czasem
\(\displaystyle{ (2\pi-\arg {z}}\) a czasem \(\displaystyle{ -\arg {z}}\)?
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

Zbiór liczb zespolonych z spełniających podane warunki

Post autor: bb314 »

mogłabym:)
argument liczby zespolonej to jest kąt na płaszczyźnie zespolonej
\(\displaystyle{ \varphi,\ 2\pi+\varphi,\ 4\pi+\varphi,\ \varphi-2\pi,\ ...}\)
wszystkie te kąty wyznaczają jeden i ten sam wektor na płaszczyźnie
i sinus (cosinus oraz tangens) każdej z tych wartości wynosi tyle samo
z tej własności korzysta się wtedy, gdy argument liczby zespolonej ma być mnożony lub dzielony
tak jak miało to miejsce w naszym przykładzie
inaczej nie uzyska się wszystkich możliwych rozwiązań

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\cdot2=\pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2}\cdot2=-\pi}\)

te dwie wartości są różne, ale wyznaczają ten sam wektor - leżący na ujemnej części osi 0X
bo \(\displaystyle{ \pi=2\pi-\pi}\)
white-tailed eagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 19 lis 2012, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Zbiór liczb zespolonych z spełniających podane warunki

Post autor: white-tailed eagle »

Aha, to teraz rozumiem, bo myślałem, że \(\displaystyle{ \arg z}\) to jest ten z zakresu od \(\displaystyle{ \left< 0;2 \pi \right)}\)
ale faktycznie jak się mnoży to trzeba też te naokoło rozważyć, bo może wyskoczyć z tego zakresu

Dzięki, że pomogłaś.
ODPOWIEDZ