wartość fi

[pixpol]

\(\displaystyle{ \left( \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{1-i} \right) \right) ^{20}}\)

\(\displaystyle{ \cos \ell= \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{3} }{4}
\sin \ell = \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} }{4}}\)

Wiem, że jest to w II ćwiartce(bo część rzeczywista jest ujemna), ale skąd wiadomo czy \(\displaystyle{ \ell= \frac{7}{12}\pi}\)czy\(\displaystyle{ \ell= \frac{11}{12}\pi}\)

Proszę o wyjasnienie.

[bb314]

\(\displaystyle{ \left( \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{1-i} \right) \right) ^{20}}\)
\(\displaystyle{ 1+i\sqrt3=2(\cos \frac{\pi}{3}+i\,\sin \frac{\pi}{3})}\)
\(\displaystyle{ 1-i=\sqrt2(\cos \frac{7\pi}{4}+i\,\sin \frac{7\pi}{4})}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+i \sqrt{3} }{1-i} =\frac{2}{\sqrt2}\left[\cos \left( \frac{\pi}{3}-\frac{7\pi}{4}\right)+i\,\sin \left( \frac{\pi}{3}-\frac{7\pi}{4}\right)\right]}\)