Liczby zespolone i wielomiany

[ziwi93]

Liczby zespolone \(\displaystyle{ z, z^{2},z^{3}}\) są pierwiastkami równania trzeciego stopnia o współczynnikach rzeczywistych. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości liczby \(\displaystyle{ z}\).

Mógłby ktoś pomóc?

[bb314]

Równanie trzeciego stopnia musi mieć jeden pierwiastek rzeczywisty.
Dwa pozostałe pierwiastki muszą być liczbami zespolonymi sprzężonymi,
liczby zespolone sprzężone mają ten sam moduł
\(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z^2}\) lub \(\displaystyle{ z^3}\) będą miały ten sam moduł, jeśli on \(\displaystyle{ =1}\)

więc \(\displaystyle{ \blue z=i\ \ \vee\ \ z=-i\ \ \ \ \to\ \ \black z^2=-1\ \ \ z^3=-i\ \vee\ z^3=i}\)

[Mariusz M]

bb314, chyba nie uwzględniłaś wszystkich zespolonych z
To zadanie już kiedyś było na forum
157681.htm

Jeszcze chyba pierwiastki z jedynki spełniają warunki zadania
Jeżeli rozwiążemy układ równań jaki zaproponowałem w powyższym temacie to
otrzymamy że część rzeczywista jest pierwiastkiem równania

\(\displaystyle{ x\left( 2x+1\right)=0}\)

Z układu równań podstawiając dostajemy dwa równania czwartego stopnia
Pierwiastki ich największego wspólnego dzielnika dadzą części rzeczywiste \(\displaystyle{ z}\)

[bb314]

Liczby zespolone \(\displaystyle{ z, z^{2},z^{3}}\) są pierwiastkami równania trzeciego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

Takie sformułowanie zadania jednoznacznie sugeruje, że nie chodzi o liczby rzeczywiste. To, że rozwiązaniem równania o rzeczywistych współczynnikach są liczby rzeczywiste nie stanowi żadnej tajemnicy. W zadaniu chodzi o liczby zespolone, czyli takie, które mają niezerową część urojoną.-- 21 lis 2012, o 23:27 --Faktycznie. Przyjęłam, że pierwiastkiem rzeczywistym musi być \(\displaystyle{ z^2}\)
a przecież pierwiastkiem rzeczywistym może być również \(\displaystyle{ z^3}\)
i wtedy mamy jeszcze dwie możliwe wartości \(\displaystyle{ \blue z=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\ \ \vee\ \ z=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i}\)