Dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) obliczyc:
a) \(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + . . . + \sin kx}\)
b) \(\displaystyle{ \cos x + \cos 2x + \cos 3x + . . . + \cos kx}\)
Czy mozna tutaj zastosowac wzór na sume wyrazow ciagu arytmetycznego?
a)\(\displaystyle{ \frac{\sin x+\sin kx}{2} \cdot k}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\cos x+\cos kx}{2} \cdot k}\)
Czy trzeba to w jakis inny sposob zrobic?
dziwne wyrazenie
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
dziwne wyrazenie
Nie.
Z jednej strony \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (\cos x + i\sin x)^k = \sum_{k = 0}^{n} \cos kx + i\sin kx = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \cos kx + i\sum_{k = 1}^{n} \sin kx}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (\cos x + i\sin x)^k =}\) suma ciągu geometrycznego.
Przekształcasz tak, aby mieć części rzeczywistą i urojoną oddzielnie i przyrównujesz.
Z jednej strony \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (\cos x + i\sin x)^k = \sum_{k = 0}^{n} \cos kx + i\sin kx = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \cos kx + i\sum_{k = 1}^{n} \sin kx}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (\cos x + i\sin x)^k =}\) suma ciągu geometrycznego.
Przekształcasz tak, aby mieć części rzeczywistą i urojoną oddzielnie i przyrównujesz.