dziwne wyrazenie

[Gogeta]

Dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) obliczyc:

a) \(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + . . . + \sin kx}\)
b) \(\displaystyle{ \cos x + \cos 2x + \cos 3x + . . . + \cos kx}\)

Czy mozna tutaj zastosowac wzór na sume wyrazow ciagu arytmetycznego?

a)\(\displaystyle{ \frac{\sin x+\sin kx}{2} \cdot k}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{\cos x+\cos kx}{2} \cdot k}\)

Czy trzeba to w jakis inny sposob zrobic?

[Tmkk]

Nie.

Z jednej strony \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (\cos x + i\sin x)^k = \sum_{k = 0}^{n} \cos kx + i\sin kx = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \cos kx + i\sum_{k = 1}^{n} \sin kx}\)

Z drugiej strony \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (\cos x + i\sin x)^k =}\) suma ciągu geometrycznego.

Przekształcasz tak, aby mieć części rzeczywistą i urojoną oddzielnie i przyrównujesz.