wykazać tożsamości

[Gogeta]

Korzystajac z tozsamosci:
\(\displaystyle{ \cos x =
\frac{(\cos x + i \sin x) + (\cos x - i \sin x)}{2}}\)

oraz wzoru de Moivre’a wyprowadzic tozsamosci:
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x =
\frac{1}{2}
(1 + \cos 2x)}\)

Mogłbym prosić o jakies wskazówki do tego zadania

[Premislav]

Stosując wzór na \(\displaystyle{ \cos 2x}\) i tzw. jedynkę trygonometryczną wychodzi w trymiga. Wyprowadzimy go (wzór na \(\displaystyle{ \cos 2x}\))sobie:
\(\displaystyle{ \cos 2x=}\)(tu skorzystaj z podanej tożsamości, nast. korzystasz z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa oraz z de Moivre'a dla drugiej potęgi)\(\displaystyle{ =\frac{( \cos x+i \cdot \sin x) ^{2}+(\cos x-i \cdot \sin x) ^{2} }{2}=.....}\)
W razie pytań co do zastosowania treści nawiasu pisz.

[Gogeta]

rozpisalem sobie to co w nawiasie napisales.

\(\displaystyle{ \cos 2x= \frac{( \cos x+i \cdot \sin x) ^{2 } +(\cos x-i \cdot \sin x) ^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos 2x= \frac{\left(\cos ^ x +2\cos x\sin x \cdot i + \sin ^2 x \cdot i^2\right) + \left( \cos ^2 x -2\cos x\sin x \cdot i +\sin ^2 x \cdot i^2 \right)}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos 2x= \frac{\left(\cos ^ x +2\cos x\sin x \cdot i - \sin ^2 x \right) + \left( \cos ^2 x -2\cos x\sin x \cdot i -\sin ^2 x \right)}{2}}\)

I nie wiem co mam zrobic dalej. Nie wiem jak mam skorzystac z tego ze cosinus jest parzysty a sinus nieparzysty.-- 17 lis 2012, o 21:22 --up

[Premislav]

Pewnie już dawno zapomniałeś o tym zadaniu, ale mimo to głupio zostawiać to bez odpowiedzi.
Od tego miejsca już tylko pozbywasz się \(\displaystyle{ 2 \cdot \cos x \cdot \sin x \cdot i}\) (wyrażenie to występuje w obydwu nawiasach), dodajesz to, co zostało i dzielisz przez \(\displaystyle{ 2}\) - i masz rzeczony wzór, podstawiasz następnie to, co wyszło w prawej stronie tej tożsamości za \(\displaystyle{ \cos 2x}\), rozpisujesz \(\displaystyle{ 1}\) z jedynki trygonometrycznej, wykonujesz to mnożenie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i po zadaniu, bo otrzymujesz lewą stronę.
O co mi chodziło z wykorzystaniem parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa:
po podstawieniu, zgodnie z podaną pomocniczą tożsamością, \(\displaystyle{ 2x}\) za argument kątowy, zamieniam w drugim nawiasie \(\displaystyle{ 2x}\) na \(\displaystyle{ -2x}\), a jako że \(\displaystyle{ \cos x=\cos(-x)}\) i \(\displaystyle{ \sin x=-\sin(-x)}\), pozwala mi to na otrzymanie typowej postaci trygonometrycznej. Ze wzoru de Moivre'a mamy \(\displaystyle{ 1 ^{2}( \cos2x+i\sin 2x)=(1 \cdot (\cos x+i\sin x)) ^{2}}\). Po skorzystaniu z tego otrzymujemy to, co napisałem, a dalej już według przedstawionego w poprzednim akapicie zarysu.