cześć rzeczywista i cześć urojona liczby zespolone

[alpen]

witam, potrzebuje pomocy przy rozwianiu tego problemu.

należy wyznaczyć część rzeczywistąa i urojoną.
\(\displaystyle{ \left( \frac{1-i\sqrt{3}}{1+i} \right) ^{12}}\)

[mati861]

Sprowadź licznik i mianownik do postaci trygonometrycznej. Przy dzieleniu dwóch liczb zespolonych w takiej postaci dzielisz moduły i odejmujesz kąty. A żeby podnieść do dwunastej potęgi podnosisz do niej moduł a kąt mnożysz przez 12.

[alpen]

ok zastosuje sie do powyższych porad ,jeszcze jak by ktoś mógł zerknąć na to, bo coś się zaciąłem :

\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{1+i}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\
\sin \varphi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{2} \cdot \left[ \cos \frac{ \frac{ \pi }{4}+2..... }{} \right]}\) nie wiem jak to dalej kończyć ?

[Vardamir]

Przedstawmy \(\displaystyle{ z}\) w postaci trygonometrzycznej i podnieśmy do trzeciej potęgi:

\(\displaystyle{ p(\cos \gamma +i\sin \gamma ) = \sqrt[3]{1+i} \\
p^3 (\cos 3 \gamma + i \sin 3\gamma) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})}\)

Teraz otrzymujemy, że:

\(\displaystyle{ p^3=\sqrt{2} \\
3\gamma = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\
\gamma = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}}\)

Podstawiamy kolejno dla \(\displaystyle{ k=\left\{0,1,2\right\}}\) :

\(\displaystyle{ z_{k} = p\left(\cos \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right) + i\sin \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right)\right)}\)

[alpen]

wyszło tak

\(\displaystyle{ z_0=p \left( \cos \left( \frac{ \pi }{12} \right) + i \sin \left( \frac{ \pi }{12} \right) \right) = ?}\)

\(\displaystyle{ z_1=p \left( \cos \left( \frac{3}{4} \right) + i \sin \left( \frac{3}{4} \right) \right) = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)

\(\displaystyle{ z_2=p \left( \cos \left( \frac{ 17 \pi }{12} \right) + i \sin \left( \frac{17 \pi }{12} \right) \right) = ?}\)