postac trygonometryczna

[Gogeta]

mam problem z zamienieniem liczby \(\displaystyle{ 1+i\tg\alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}}\)
zamienilem \(\displaystyle{ \tg\alpha}\) na \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\) Nie potrafie skorzystac z tego \(\displaystyle{ \alpha}\) lezy w tym przedziale. Prośiłbym o jakies wskazówki.

[chris_f]

Albo coś zgubiłeś (zapewne \(\displaystyle{ i}\)), albo zadanie jest bez sensu
\(\displaystyle{ 1+\tan\alpha=(1+\tan\alpha)(\cos0+i\sin0)}\)

[Gogeta]

Tak racja pominąłem i przy wyrazeniu tangens. Juz poprawilem

[chris_f]

Oznaczmy \(\displaystyle{ z=1+i\tan\alpha=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{1+\tan^2\alpha}=\sqrt{1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=
\sqrt{\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}}=\frac{1}{|\cos\alpha|}}\)
ale ponieważ \(\displaystyle{ \alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\), to \(\displaystyle{ \cos\alpha>0}\), a zatem
\(\displaystyle{ |z|=\frac{1}{\cos\alpha}}\)
Obliczamy
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{1}{\frac{1}{\cos\alpha}}=\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\tan\alpha}{\frac{1}{\cos\alpha}}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}}=\sin\alpha}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\) to \(\displaystyle{ \varphi=\alpha}\).
Ostatecznie postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ z=\frac{1}{\cos\alpha}\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)}\)